Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.
Legyenek valós számok, és számtani közepüket jelölje . Ekkor
- .
Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes -t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő becslés:[1]
- .
A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.[1]
Példa
A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:
Az átlagos súly:
A négyzetes eltérések összege:
További számítások a tétel alkalmazásához:
Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:
mivel
Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a és összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor
- végül
Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet
Alkalmazások
Szúrópróba kovarianciája
Két valószínűségi változó, és a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk
Eltolási tétellel
A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája
Valószínűségi változók
Szórásnégyzet
Egy valószínűségi változó szórásnégyzete
az eltolási tétellel[2]
ami König-Huygens-tételként ismert.
A várható érték linearitásával
Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:
- .
Ha diszkrét valószínűségi változó az lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó valószínűségekkel, akkor
Speciálisan, ha , akkor , és a fenti képlettel
Ha abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye , akkor
Az eltolási tétellel
Kovariancia
Két valószínűségi változó, és kovarianciája
Az eltolási tétellel
Diszkrét esetben
illetve
ahol a közös valószínűségi tömegfüggvény, az és valószínűségi tömegfüggvényekkel.
Folytonos esetben legyen és közös sűrűségfüggvénye az , helyen. Ekkor a kovariancia
illetve
Bizonyítás
A legegyszerűbb esetben adottak az számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:
ahol
a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:[3]
- .
Jegyzetek
- ↑ a b Tony F. Chan, Gene H. Golub, Randall J. LeVeque: Algorithms for computing the sample variance: analysis and recommendations. In: The American Statistician Vol. 37, No. 3 (Aug., 1983), S. 242–247
- ↑ Ansgar Steland: Basiswissen Statistik, S. 116
- ↑ Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Christian Dreger: Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele, S. 86
- Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall a www.mathebibel.de helyen