Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.[1]
Története
Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:
(ahol „ln” a természetes alapú logaritmust jelenti, vagyis az e alapú logaritmust).[2]
Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.
Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontjaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.
Alkalmazás a komplex számok elméletében
A képlet úgy interpretálható, hogy az eix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).
Az eredeti bizonyítás az ez exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).
Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komplex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:
ahol
a valós rész,
a képzetes rész,
a z abszolút értéke,
a z argumentuma (a szög az x tengely és a z vektor között). A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.
Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:
és
mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:
minden -ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:
és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel többértékű.
Végül a másik exponenciális összefüggés:
melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a De Moivre-képlet.
Kapcsolata a trigonometriával
Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz- és koszinuszfüggvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:
Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával
majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.
Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:
Más alkalmazások
Differenciálegyenleteknél az eix függvényt gyakran a deriválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különösen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.
Az elektrotechnikában és más területeken az időben periodikusan változó jeleket gyakran a szinusz- és koszinuszfüggvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények valós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.
Bizonyítások
Taylor-sor felhasználásával
A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:
és így tovább. Az ex, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy xvalós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:
Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:
A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.
Deriválás felhasználásával
Definiáljuk a függvényt a következőképpen:
Ez lehetséges, mivel az
egyenlet magában foglalja, hogy sohasem zéró.
Az deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:
Ennélfogva az -nek konstans függvénynek kell lennie. Így
Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával
Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:
Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja
mivel definíció szerint i 2 = ‒1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:
vagy
Ezt a differenciálegyenletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:
Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:
tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:
.
Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:
↑R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Mai fizika, 2., Relativisztikus mechanika. Forgó- és rezgőmozgás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985, 88. old.
↑John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer (2002)
További információk
Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap