Gyűrű (matematika)
Matematika |
---|
A matematika alapjai |
|
Algebra |
|
Analízis |
|
Geometria |
|
Számelmélet |
Diszkrét matematika |
Alkalmazott matematika |
Általános |
Sablon:Matematika
|
Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: –, ha
- Abel-csoport,
- félcsoport és
- a tetszőleges elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:
- , és
- .
A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért a gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát helyett szerepel.
Ha kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig egységelemes, egységelemes gyűrűről.
Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.
Példák
- Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
- Az n×n-es mátrixok, ha , egységelemes, de nem kommutatív gyűrűt alkotnak.
- Bármely gyűrű, melyben érvényes az xn=x azonosság az összes n>1 egész kitevőre, Nathan Jacobson egy eredménye szerint kommutatív.[1]
Részgyűrű, ideál
Egy gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az -beli összeadás és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.
Egy gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát egy balideáljának nevezzük, ha bármely két -beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is -beli, valamint egy tetszőleges elem megszorozva egy tetszőleges -beli elemmel balról, az eredmény szintén -ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel: és . Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz . Amennyiben egy részhalmaz bal- és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal- és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).
Példák részgyűrűkre és ideálokra
Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.
Az egész számok körében egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek -24, -16, -8, 0, 8, 16, 24 stb. Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapjuk, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.
Jegyzetek
- ↑ Maurer I. Gyula - Szigeti J.: On Rings Satysfiing Certain Polinomial Identities. (pdf, angol). Mathematica Pannonica I./2. (1990), 40-45. Hozzáférés: 2012.04.22.
További információk
- Alice és Bob - 14. rész: Alice és Bob gyűrűje
- Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
Források
- Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
- Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap