Holomorf függvények

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény holomorf egy nyílt ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ halmazon, ha ${\displaystyle U}$ minden pontjában komplex differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható. Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá.

Habár a definíció analóg a valós differenciálhatósággal, a komplex függvénytan megmutatja, hogy ez egy nagyon erős tulajdonság. Olyan jelenségeket produkál, amiknek a valósban nincs megfelelőjük. Ilyen például, hogy tetszőleges sokszor differenciálható, és a halmaz bármely pontja körül hatványsorba fejthető.

Definíció

1. Definíció: Legyen adva az ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ nyílt halmaz, és az ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$ pontban létezik a következő határérték

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$.

Ezt a határértéket az f függvény z₀-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z₀)-lal jelöljük.

2. Definíció: ${\displaystyle f}$ holomorf, ha előáll ${\displaystyle z_{0}}$ pont ${\displaystyle r}$-sugarú (alkalmasan választott ${\displaystyle r}$-rel) környezetében a következő alakban:

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+A(z-z_{0})+\varepsilon _{z_{0},r}(z)}$

ahol ${\displaystyle A}$ komplex szám (természetesen függ ${\displaystyle z_{0}}$-tól), ${\displaystyle \varepsilon _{z_{0},r}}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {\varepsilon _{z_{0},r}(z)}{z-z_{0}}}=0}$

Ekkor ${\displaystyle A=f'(z_{0})}$.

3. Definíció: ${\displaystyle f}$ holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

${\displaystyle \oint f(z)dz=0}$

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ két görbe, és ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)}$, akkor

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)dz}$

Példák

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a ${\displaystyle z\mapsto z}$ függvény. Általánosabban, a polinomok holomorfak a teljes komplex síkon.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt ${\displaystyle 2\pi }$-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha ${\displaystyle z_{1}-z_{2}=2n\pi i}$, akkor ${\displaystyle \exp(z_{1})=\exp(z_{2})}$. Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

${\displaystyle \Omega =\mathbb {C} \setminus \{a+bi:a\leq 0,b=0\}}$

${\displaystyle \log z=\log |z|+i\arg z\ (-\pi <\arg z<\pi )}$

A koszinusz és szinusz szögfüggvények holomorfak a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

${\displaystyle \cos z={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}}$

${\displaystyle \sin z={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}}$

Hasonlóan a hiperbolikus függvények is holomorfak a teljes komplex síkon.

A törtracionális függvények holomorfak, kivéve a nevező gyökeit, ahol pólusaik vannak. Az egész komplex síkon meromorfak.

A logaritmusfüggvény ága az origóból felvágott komplex síkon. A főágat úgy választják, hogy a síkból a negatív félegyenest hagyják ki.

Ellenpéldák

Sehol sem holomorfak a következő függvények:

• A konjugálás operátor: ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$
• A valósrész-képzés, illetve képzetesrész-képzés operátor: ${\displaystyle a+bi=z\mapsto \Re (z)=a}$
• Az abszolútérték: ${\displaystyle z\mapsto |z|}$

A ${\displaystyle z\mapsto |z|^{2}}$ csak a 0 helyen komplex differenciálható, de itt sem holomorf, mivel ahhoz egy környezet is kellene. Általánosabban nem holomorfak azok a függvények, amelyeknek az összes értéke valós.

Tulajdonságok

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Ez lényeges különbség a valós differenciálhatósághoz képest. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$ és ${\displaystyle r=\sup\{d\in \mathbb {R} :|z-z_{0}|<d\Rightarrow z\in \Omega \}}$, azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér ${\displaystyle \Omega }$-ban. Ekkor ha ${\displaystyle f}$ holomorf az ${\displaystyle \Omega }$-ban, akkor létezik a ${\displaystyle z_{0}}$ körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen ${\displaystyle r}$, és ott előállítja a függvényt.

Maximumelv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy ${\displaystyle \gamma }$ Jordan-görbe, és legyen ${\displaystyle \Omega }$ ennek a belseje. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle f,g:\Omega \to \mathbb {C} }$ két holomorf függvény, melyek folytonosak ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$-n, valamint tegyük fel, hogy minden ${\displaystyle z\in \gamma }$ pontra fennáll: ${\displaystyle |g\left(z\right)|>|f(z)-g(z)|}$. Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van ${\displaystyle \Omega }$-ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.

Cauchy integráltétele: Ha ${\displaystyle f(z)}$ holomorf, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ egyszeresen összefüggő tartomány, és ${\displaystyle \gamma }$ zárt Jordan-görbe, akkor

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

A tétel teljesül akkor is, ha ${\displaystyle U}$ csillagszerűen összefüggő, és ${\displaystyle \gamma }$ zárt út.

Cauchy integrálképlete: Legyen ${\displaystyle D:=U_{r}(a)}$ ${\displaystyle a\in U}$ közepű, ${\displaystyle r}$ sugarú nyílt körlap! Ha ${\displaystyle f(z)}$ holomorf egy ${\displaystyle D}$-nél szigorúan bővebb tartományon, akkor minden ${\displaystyle z\in D}$ és ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ esetén:

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{k+1}}}\mathrm {d} \zeta .}$

Tehát a határon felvett értékek meghatározzák a teljes függvényt bent is.

Az integrálképlet segítségével bizonyítható, hogy a holomorf tulajdonság ekvivalens a komplex analitikussággal. Azaz, ha egy függvény a ${\displaystyle z_{0}}$ komplex számban holomorf, akkor komplex analitikus, és megfordítva, ha komplex analitikus, akkor holomorf. A hatványsorok akárhányszor differenciálhatók, és tagonként differenciálhatók.

Az identitásképlet szerint nemcsak a határ határozza meg a holomorf függvényt, hanem minden olyan halmaz elemein felvett érték, aminek torlódási pontja a holomorf tartományba esik. Így egyes valós analitikus függvények egyértelműen kiterjeszthetők holomorf függvényekké.

Tartományhűség: Tartomány holomorf képe tartomány.

Weierstraß tétele: Ha a holomorf függvényekbőlé álló ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat kompakt konvergál az ${\displaystyle U}$ tartományon az ${\displaystyle f}$ függvényhez, akkor ${\displaystyle f}$ újra holomorf, és a határértékképzés felcserélhető a deriválással.

Montel tétele: Ha az ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ holomorf függvények sorozata lokálisan korlátos egy tartományon, akkor van kompakt konvergens részsorozata.

Legyen ${\displaystyle u}$ harmonikus függvény egy egyszeresen összefüggő tartományon! Ekkor van olyan ${\displaystyle v}$ függvény, ami szintén harmonikus, és az ${\displaystyle \textstyle f\colon x+\mathrm {i} y\mapsto u(x,y)+\mathrm {i} v(x,y)}$ függvény holomorf. Ekkor az ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ harmonikus függvények konjugáltak.

Kapcsolat a valós differenciálhatósággal

${\displaystyle \mathbb {C} }$ természetes módon kétdimenziós vektortér a valós számok fölött, természetes ortonormált bázisa ${\displaystyle \{1,i\}}$. Így egy ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ függvénynek az ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ nyílt halmazon való differenciálhatósága totális differenciálhatóságot jelent a magasabb dimenziós valós analízis értelmében. Ha ${\displaystyle f}$ függvény, akkor totális differenciálható a ${\displaystyle z_{0}}$ pontban, ha van egy ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineáris leképezés úgy, hogy

${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+r(h)}$

ahol az ${\displaystyle r}$ függvény olyan, hogy

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0}$

Most látható, hogy ${\displaystyle f}$ pontosan akkor komplex differenciálható a ${\displaystyle z_{0}}$ komplex számban, ha ugyanitt totálisan differenciálható, és ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineáris. Ez utóbbi egy erős feltétel. Ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle L}$ mátrixa az ${\displaystyle \{1,i\}}$ kanonikus bázisban

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek

Ha felbontjuk az ${\displaystyle f}$ függvényt valós és képzetes részére, mint ${\displaystyle f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+i\,v\left(x,y\right)}$, akkor a totális derivált:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Megfordítva, egy függvény komplex értelemben differenciálható, ha valós értelmben folytonosan differenciálható, és a fenti ${\displaystyle u,v}$ függvényekre:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Ekvivalens tulajdonságok

Egy komplex szám egy környezetében ekvivalensek a következők:

1. A függvény komplex differenciálható.
2. A függvény akárhányszor komplex differenciálható.
3. A valós és a képzetes részek megoldják a Cauchy-Riemann-differenciálegyenleteket, és legalább egyszer folytonosan differenciálhatók.
4. A függvény komplex hatványsorba fejthető.
5. A függvény folytonos, és minden zárt út menti integrálja eltűnik.
6. A függvény értékei egy körlap belsejében kiszámíthatók a körvonalon felvett értékekből a Cauchy-integrálképlettel.
7. A függvény valós értelemben differenciálható, továbbá

${\displaystyle \quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

ahol ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ a Cauchy-Riemann-operátor, aminek definíciója:

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)}$

Biholomorf függvények

Egy függvény biholomorf, ha holomorf, bijektív és inverze is holomorf. Egyváltozós függvények esetén ez ekvivalens azzal, hogy a leképezés bijektív és konform. Az implicit függvénytételből következik, hogy ha egy függvény holomorf és bijektív, akkor az inverze is holomorf. Többváltozós esetben ugyanezt Osgood tétele garantálja. Így a bijektív, holomorf függvények biholomorfak.

A kategóriaelmélet szempontjából a biholomorf leképezések izomorfizmusok.

Többváltozós holomorf függvények

Legyen ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ nyílt halmaz. Az ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}}$ leképezés holomorf, ha ${\displaystyle f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})}$ minden részfüggvényében és változójában holomorf. A komplex függvények parciális deriváltjai egyszerűen kezelhetők a Wirtinger-kalkulussal: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}}$ és ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}}$ sok szép tulajdonságot mutat.

Így az ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ függvényekre nem teljesül a Cauchy-integráltétel, és az identitástételnek csak egy gyengébb változata adódik. A Cauchy-integrálképlet azonban alkalmazható, ami teljes indukcióval általánosítható. Salomon Bochner 1944-ben bizonyította a Bochner-Martinelli-képletet, ami az integrálképlet további általánosítása.

A komplex geometriában is alkalmazzák a holomorfiát. Így tekintik a Riemann-felületek és a komplex sokaságok egymás közötti holomorf leképezéseit a sima sokaságok közötti valós differenciálható leképezésekkel analóg módon. Emellett az integrációelmélet számára fontos alkalmazások a sima differenciálformákhoz hasonlóan, holomorf differenciálformák néven.

Lásd még

• Meromorf függvények

Források

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)
• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.
• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Holomorphe Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.