Kummer-függvény

A matematikában több függvény is Kummer-függvényként ismert. A Kummer-függvényeket többnyire fizikai problémák megoldásánál használják. A függvények Ernst Kummer (1810 – 1893) német matematikusról kapták a nevüket.

Az egyik ilyen ismert függvény az úgynevezett „speciális hipergeometrikus függvény”.^[1]

A másik ismert függvény a polilogaritmushoz kapcsolódik, melynek a definíciója alább látható.

A Kummer-függvény definíciója:

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.}$

A duplikációs formája:

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})}$.

Összehasonlítva a duplikációs formulát a polilogaritmussal: ${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2}).}$

Egy explicit kapcsolat a polilogaritmushoz:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}$

• Lewin, Leonard, ed: Structural Properties of Polylogarithms. (hely nélkül): Providence, RI: American Mathematical Society. 1991. ISBN 0-8218-4532-2  

• http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12665

• Polilogaritmus
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika