Majoráns kritérium
A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sorok konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is. Ilyen a majoráns kritérium is.
Majoráns kritérium: Tegyük fel, hogy a és végtelen sorok tagjaira minden elég nagy n esetén fennáll . Ha a sor konvergens, akkor abszolút konvergens.
Bizonyítás: Véges sok tag megváltoztatása nem befolyásolja a sorok konvergenciáját, ezért feltehetjük, hogy minden n-re teljesül. Ebből következik, hogy a sor részletösszegei nem nagyobbak megfelelő részletösszegeinél. Az utóbbiak sorozata felülről korlátos, hiszen konvergens. Így a sor részletösszegeinek sorozata is felülről korlátos, tehát a monoton konvergencia tétel szerint a sor részösszegeinek sorozata konvergens, vagyis a sor definíció szerint konvergens.
Források
- Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
- Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9
Kapcsolódó szócikkek
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap