Négyzetgyök 2
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/220px-Square_root_of_2_triangle.svg.png)
A négyzetgyök kettő, más néven Püthagorasz-állandó, ami felírva:
vagy törtkitevős hatványként
egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. Az első 65 tizedesjegye a következő (A002193 sorozat az OEIS-ben):
- 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.
A √2 valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, illetve egy egységnyi oldalú kocka lapátlójának, ami levezethető a Pitagorasz-tételből.
Irracionális számok | |
Bináris | 1,0110101000001001111… |
Decimális | 1,4142135623730950488… |
Hexadecimális | 1,6A09E667F3BCC908B2F… |
Lánctörtes alakban |
Az ezüstmetszés arányszáma
Történet
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Ybc7289-bw.jpg/220px-Ybc7289-bw.jpg)
A Yale Egyetem babiloni gyűjteményében található 7289-es számú agyagtábla (i. e. 1800-1600-ból) már közelítő értéket ad a -re a babiloniak által használt hatvanas számrendszerben, hat tizedesjegy pontossággal:
Ennek a számnak egy másik korai közelítését az ősi indiai matematikai szövegek adják, a következőképp: Növeljük az oldal hosszát a harmadával, azután a harmadának a negyedével, majd csökkentsük a negyedének a harmincnegyedével. Tehát:
Az irracionális számok felfedezését általában Püthagorasz egyik tanítványának, a metapontumi Hippaszosznak tulajdonítják, aki elkészítette az első (valószínűleg geometriai) bizonyítást a gyök 2 irracionalitására. Egy legenda szerint Pitagorasz hitt a számok teljességében, és nem tudta elfogadni az irracionális számok létezését. Nem tudta megcáfolni a létezésüket logikai úton, de a hite miatt nem tudta elfogadni irracionális számok létezését, ezért fulladásos halálra ítélte Hippaszoszt. Más legendák szerint Hippaszoszt megfojtotta Pitagorasz néhány tanítványa, vagy csupán kizárták a körükből.
Kiszámítási algoritmus
Számos módszer van a √2 közelítő értékének számolására, melyek a kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre a legegyszerűbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következőképp működik:
Először vegyünk egy tetszőleges becslést. A becslés pontossága nem számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a becslésünket a következő rekurzív számításban:
Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell elvégezni, egyre nagyobb n-nel), annál jobb becslést kapunk a √2 közelítő értékére.
1997-ben Kanada Jaszumasza csapatával 137 438 953 444 tizedesjegyig számolta ki a √2 közelítő értékét.
2006 februárjában a rekordot túlszárnyalták egy otthoni számítógépen. Kondó Sigeru az első 200 000 000 000 tizedesjegyét számolta ki a √2-nek, alig 13 nap és 14 óra kellett hozzá egy 3,6 GHz-es PC-vel, 16 GB memóriával.
Irracionalitásának bizonyítása
Az indirekt bizonyítás azt jelenti, hogy feltesszük, hogy az állításunk tagadása igaz, majd átalakításokkal nyilvánvaló ellentmondást kapunk, tehát a tagadás hamis, ezért az eredeti állítás igaz.
- Tegyük fel, hogy a egy racionális szám, tehát léteznek és egészek, hogy .
- Akkor lehet felírni -t tovább nem egyszerűsíthető törtként, ha és relatív prímek, valamint .
- Ebből következik, hogy és a² = 2 b². ((a / b)n = an / bn)
- Tehát, a² páros, mert egyenlő 2 b²-tel.
- Ebből következik, hogy a is páros, mert csak a páros számoknak páros a négyzetük.
- Mivel a páros, létezik k egész szám, ami teljesíti, hogy a = 2k.
- Behelyettesítve 2k-t a (6). lépésből a (3). lépés második egyenlőségébe: 2b² = (2k)², ami megegyezik 2b² = 4k², ami megegyezik b² = 2k².
- Mivel 2k² osztható 2-vel, és 2k² = b², ezért b² szintén osztható 2-vel, tehát b is.
- Az (5). és (8). lépésből tudjuk, hogy a és b is párosak, ami ellentmond annak, hogy relatív prímek, ahogy azt megállapítottuk a (2). lépésben.
Mivel van ellentmondás, az (1)-es feltétel, hogy a racionális szám, hamis. Az állítás be van bizonyítva: irracionális.
Ennek a bizonyításnak az általánosításával bármelyik természetes szám négyzetgyökéről el tudjuk dönteni, hogy racionális vagy irracionális.
Bizonyítás végtelen leszállással
Lásd itt: Végtelen leszállás#Példák
Bizonyítás prímtényezős felbontással
Ez a bizonyítás hasonló az előzőhöz, de a számelmélet alaptételét alkalmazza:
- Tegyük fel, hogy a egy racionális szám, tehát léteznek és egészek, hogy .
- Ebből következik, hogy és .
- A számelmélet alaptételéből következik, hogy a-nak és b-nek egyértelműen létezik prímtényezős felbontása, amit fel lehet írni a = 2xk és b = 2ym alakban, ahol x és y nemnegatív egészek, m és k pedig páratlan nemnegatív egészek.
- Tehát a² = 22xk² és b² = 22ym².
- Ha ezt behelyettesítjük a (3). lépésbe, akkor azt kapjuk, hogy 22xk² = 2·22ym² = 22y+1m².
- Tehát azt állítjuk, hogy egy prímtényezős felbontás, amelyben 2 páros kitevőjű hatványa van (a kitevő 2x) megegyezik egy olyannal, amelyben a 2 páratlan kitevőjű hatványa szerepel (a kitevő 2y+1). Ez ellentmond az egyértelmű prímfelbontásnak, tehát az indirekt feltevés hamis volt.
Egy másik bizonyítás
A következő reductio ad absurdum egy kevésbé jól ismert bizonyítása a irracionalitásának. Azt a további információt használja, hogy .
- Tegyük fel, hogy racionális szám, tehát léteznek m és n egészek, ahol n ≠ 0, hogy .
- Tehát √2-t fel lehet írni tovább nem egyszerűsíthető törtként, ahol m és n pozitív egészek, mert .
- , ebből következik, hogy m > n, tehát m > 2n – m.
- Tehát az törtet, amiről a (2). lépésből tudjuk, hogy nem lehet tovább egyszerűsíteni, a (3). lépésben egyszerűsítjük. Ez ellentmondás, tehát az állítás, hogy a racionális, hamis.
Geometriai bizonyítás
![(A kép adatai)](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Irrationality_of_sqrt2.svg/240px-Irrationality_of_sqrt2.svg.png)
Ez szintén egy példa a végtelen leszállással történő bizonyításra. Alkalmazzuk benne a klasszikus szerkesztést, a tétel bizonyításának ez a módja egyszerűbb, mint amit az ókori görögök alkalmaztak.
Legyen ABC egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, az átfogó hossza m, a befogóké n. A Pitagorasz-tétel miatt m/n = √2. Tegyük fel, hogy m és n egész számok. Legyen az m:n arány egyszerűsítve.
Rajzoljunk A középpontú m és n sugarú köríveket. A kapott metszéspontok a szárakon D és E. Ebből következik, hogy AB = AD, AC = AE és ∠BAC and ∠DAE szögek egybevágóak. Tehát az ABC és ADE háromszögek egybevágóak, mert megegyezik 2 oldaluk és az általuk közbezárt szög.
Mivel ∠EBF szög derékszög, és ∠BEF pedig a derékszög fele (45°) BEF szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ezért BE = m ‒ n, tehát BF = m ‒ n. A szimmetria miatt DF = m ‒ n, és FDC szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebből következik: FC = n ‒ (m ‒ n) = 2n ‒ m.
Tehát van egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszögünk, átfogójának hossza 2n ‒ m, a befogóké pedig m ‒ n. Ezek az értékek szintén egészek, arányuk megegyezik m és n arányával, ez ellentmond annak az állításnak, hogy m:n egyszerűsítve van. m és n tehát nem lehetnek egészek, ezért √2 irracionális.
A négyzetgyök 2 tulajdonságai
A gyök 2 fele, ami közelítve 0.70710 67811 86548, egy közös mennyisége a geometriának és a trigonometriának, mert ha az egységvektor a síkon 45°-os szöget zár be a tengelyekkel, akkor a koordinátái:
És ez kielégíti, hogy
Egy érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek a következő:
Ez az ezüstmetszés egyik tulajdonságának a következménye.
Másik érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek:
A négyzetgyök 2 kifejezhető az i képzetes egység segítségével, a négyzetgyökvonást, és a számtani műveleteket használva:
- és
Előállítás sorokkal és produktummal
A azonosság, és a szinusz és koszinusz végtelen szorzatként való előállításából következnek az alábbi egyenletek:
és
vagy ezzel ekvivalens,
A szám kifejezhető trigonometrikus függvények Taylor-sor alakban történő felírásával. Például cos(π/4) sora adja a következőt:
A Taylor-sora x = 1 esetben a következő:
A sorok konvergenciája gyorsítható Euler-transzformációval, előállítva
Előállítása lánctörttel
A négyzetgyök 2 a következő lánctörtként áll elő:
A papír mérete
Gyök 2 kerekített értéke a papír oldalainak aránya az ISO 216-os szabványban. Ez az arány biztosítja, hogy ha félbevágunk egy lapot a rövidebb oldallal párhuzamosan, akkor a kapott papírok oldalainak aránya megegyezik az eredeti papír oldalainak arányával. Valóban, ha egy téglalap oldalai és , akkor a felének az oldalai és , az utóbbi megegyezik -vel. Ennek következtében, a hosszú oldal () és a rövid oldal () aránya ismét .
Kapcsolódó szócikkek
Külső hivatkozások
- √2.net Archiválva 2021. június 30-i dátummal a Wayback Machine-ben, valós idejű számolás
- A négyzetgyök 2 első 5 millió számjegye (Jerry Bonnell és Robert Nemiroff, 1994.)
- A négyzetgyök 2 irracionális, bizonyítások gyűjteménye
Források
- Apostol, Tom M. (2000. November). „Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof”. The American Mathematical Monthly 107 (9), 841–842. o. DOI:10.2307/2695741.
- Flannery, David. The Square Root of Two. Springer (2005). ISBN 0-387-20220-X
- Fowler, David, Eleanor Robson (1998. November). „Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context”. Historia Mathematica 25 (4), 366–378. o. [2006. szeptember 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1006/hmat.1998.2209.
- Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of .
- Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra
- Weisstein, Eric W.: Pythagoras's Constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld