Normálvektor
A geometriában a normálvektor, röviden normális merőleges egy egyenesre, egy síkra, görbére, felületre vagy ezek általánosítására. Egy egységnormálvektor vagy egységnormális egy 1 hosszúságú normálvektor.
Cikkünkben először a síkbeli egyenes és térbeli sík normálisával foglalkozunk, a többi esetre később térünk rá.
Lineáris algebra és analitikus geometria
Ebben a szakaszban a vektorokat vektornyilakkal jelöljük.
Egyenes normálvektora
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Gerade_normale.svg/200px-Gerade_normale.svg.png)
Egy egyenes normálvektora a síkban egy nullvektortól különböző vektor, ami merőleges a egyenesre. Ekkor a vektor az egyenes normálisa, illetve ortogonálisa.[1]
Ha a vektor irányvektora a egyenesnek, akkor a és a egyenes normálvektora. A irányban az egyenes mentén futva, balra, jobbra mutat.
Ha az egyenes az
egyenlettel van megadva, akkor az egyenes irányvektora, és normálvektorok. Ha , akkor a normálisok meredeksége . Ha , akkor vízszintes, így normálisai függőlegesek, egyenletük tehát alakú.[1]
Ha az egyenes az általános
alakban van adva, akkor egy normálvektor.[1]
Egy normálvektorból kiszámítható egységnormálvektor, amennyiben a normálvektort osztjuk hosszával. Ezt a műveletet normálásnak nevezik:
A másik egységnormálvektor megkapható, ha ezt -1-eggyel szorozzuk: az előző egységnormálvektorral ellentett irányú egységnormálvektor. Egy normálvektorból megkapható bármely másik normálvektor egy nullától különböző számmal való szorzással.
Sík normálvektora
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Normal_vectors2.svg/200px-Normal_vectors2.svg.png)
Egy háromdimenziós térben egy sík normálvektora egy nullvektortól különböző, a síkra merőleges vektor; tehát a síkra merőleges egyenesek irányvektora.[1]
Ha az egyenes egyenlete
alakú, akkor a sík normálvektora.[1]
Ha az sík a feszítő és vektorokkal van adva, akkor, mivel az vektor mindkét feszítő vektorra merőleges, egy lienáris egyenletrendszer adódik:
Minden, a triviális megoldástól különböző megoldás normálvektort eredményez.[1]
Egy másik lehetőség a vektoriális szorzás felhasználásával adódik a normális kiszámítására:[1]
egy vektor, ami merőleges az és vektorokra, és ebben a sorrendben jobbfogású rendszert alkot.
Ha egyenlete
- alakú,
akkor egy felfelé és egy lefelé mutató normálvektor.
Ahogy az egyenesnél, úgy a síknál is kapható egységnormálvektor, ha a normálvektort elosztjuk hosszával. A másik egységnormálvektor ebből -gyel való szorzással kapható. Tetszőleges normálvektor megkapható egy alkalmas nullától különböző számmal való szorzással.
Egy síkot egyértelműen meghatározza egy pontja és egy normálisa.[1]
Görbék és felületek normálvektora
Síkgörbék normálvektora
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Normale_normalenvektor2.svg/200px-Normale_normalenvektor2.svg.png)
Az analízisben és a differenciálgeometriában egy síkgörbe adott pontbeli normálvektora egy vektor, ami merőleges a helyi érintőre. A normálvektor egyenese a normális, ami merőleges az érintőre.[1]
Ha a görbe egy differenciálható függvény, grafikonjaként van adva, akkor az érintő meredeksége az pontban , tehát a normális meredeksége
Így az pontban a normális
azaz
- [1]
Ha a síkgörbe paraméteresen van adva, és egyenlete , akkor érintővektor a pontban, és egy jobbra mutató normálvektor. Itt a differenciálgeometriában szokásos módon a pötty a görbe paramétere szerinti deriváltat jelenti.[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Raumkurve_normale_gimp.png/200px-Raumkurve_normale_gimp.png)
Térgörbék esetén a normálvektorok egy kétdimenziós alvektorteret alkotnak, a hozzá tartozó affin altér a ponton átmenő, a görbére merőleges sík. Az elemi differenciálgeometriában a görbület irányába mutató egységvektort választjuk. Ez a főnormális egységvektor, lásd még: Frenet-formulák.
Felületek normálvektora
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Normalenvektor.png/200px-Normalenvektor.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Tangential_ebene_normale.png/200px-Tangential_ebene_normale.png)
Normális:
Normálvektor:
A görbékhez hasonlóan, egy felület normálvektora a háromdimenziós térben egy vektor, ami merőleges a helyi érintősíkra.
Ha a felület az
paraméteres alakban van adva, akkor az
- és
vektorok az érintősík feszítővektorai az pontban, feltéve, hogy az felület reguláris, azaz és lineárisan független. Egy normálvektor az pontban egy vektor, ami merőleges az és vektorokra, például az : vektoriális szorzattal számított és lenormált főnormális egységvektor. Itt a függőleges vonalak az euklideszi normát jelentik.[2]
Ha a felület az
implicit egyenlettel van adva, ahol differenciálható függvény, akkor az
gradiens az pontbeli normálvektora, feltéve, hogy nem tűnik el.
Ha a felület az differenciálható függvény grafikonjaként van adva, akkor
felfelé mutató normálvektor a pontban. Ez megkapható, ha egy paraméterezés, vagy a felület az egyenlettel van megadva.[1][2]
Általánosítások
A normálvektor fogalma általánosítható:
- affin alterekre (általánosított síkok), magasabb dimenziós euklideszi terekben, különösen hipersíkokra
- felületekre, hiperfelületekre, részsokaságokra magasabb dimenziós euklideszi terekben
- Riemann-sokaságok felületei, hiperfelületei és részsokaságai
- Nem sima objektumok, mint konvex testek és rektifikálható halmazok.
Alkalmazások
Az analízisben és a differenciálgeometriában a normálvektorok központi szerepet játszanak a felszínek és a felületi integrálok számításában. A számítógépes grafikában többek között a normálvektort is használják arra, hogy egy felület a felhasználó felé fordul-e, ez alapján kizárhatók a nem látható felületek. A többi felülethez a fénybeesés és tükröződések számításához.
Források
- Weisstein, Eric W.: normal vector (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Jegyzetek
- ↑ a b c d e f g h i j k l Normale, Normalenform,Normalenvektor. Ebenengleichung, Geradengleichung In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 89–93, 154–156,299–300
- ↑ a b Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 375–387.
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Normalenvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.