Normálvektor

A geometriában a normálvektor, röviden normális merőleges egy egyenesre, egy síkra, görbére, felületre vagy ezek általánosítására. Egy egységnormálvektor vagy egységnormális egy 1 hosszúságú normálvektor.

Cikkünkben először a síkbeli egyenes és térbeli sík normálisával foglalkozunk, a többi esetre később térünk rá.

Ebben a szakaszban a vektorokat vektornyilakkal jelöljük.

Egy ${\displaystyle g}$ egyenes normálvektora a síkban egy nullvektortól különböző vektor, ami merőleges a ${\displaystyle g}$ egyenesre. Ekkor a vektor az egyenes normálisa, illetve ortogonálisa.^[1]

Ha a ${\displaystyle {\vec {v}}=(a,b)}$ vektor irányvektora a ${\displaystyle g}$ egyenesnek, akkor a ${\displaystyle (-b,a)}$ és ${\displaystyle (b,-a)}$ a ${\displaystyle g}$ egyenes normálvektora. A ${\displaystyle {\vec {v}}}$ irányban az egyenes mentén futva, ${\displaystyle (-b,a)}$ balra, ${\displaystyle (b,-a)}$ jobbra mutat.

Ha az egyenes az

${\displaystyle y=mx+c}$

egyenlettel van megadva, akkor ${\displaystyle (1,m)}$ az egyenes irányvektora, ${\displaystyle (-m,1)}$ és ${\displaystyle (m,-1)}$ normálvektorok. Ha ${\displaystyle m\neq 0}$, akkor a normálisok meredeksége ${\displaystyle -{\tfrac {1}{m}}}$. Ha ${\displaystyle m=0}$, akkor ${\displaystyle g}$ vízszintes, így normálisai függőlegesek, egyenletük tehát ${\displaystyle x=a}$ alakú.^[1]

Ha az egyenes az általános

${\displaystyle ax+by=d}$

alakban van adva, akkor ${\displaystyle (a,b)}$ egy normálvektor.^[1]

Egy ${\displaystyle {\vec {n}}}$ normálvektorból kiszámítható ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ egységnormálvektor, amennyiben a ${\displaystyle {\vec {n}}}$ normálvektort osztjuk hosszával. Ezt a műveletet normálásnak nevezik:

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {1}{|{\vec {n}}|}}{\vec {n}}}$

A másik egységnormálvektor megkapható, ha ezt -1-eggyel szorozzuk: ${\displaystyle -{\vec {n}}_{0}}$ az előző egységnormálvektorral ellentett irányú egységnormálvektor. Egy normálvektorból megkapható bármely másik normálvektor egy nullától különböző számmal való szorzással.

Egy háromdimenziós térben egy ${\displaystyle E}$ sík normálvektora egy nullvektortól különböző, a síkra merőleges vektor; tehát a síkra merőleges egyenesek irányvektora.^[1]

Ha az egyenes egyenlete

${\displaystyle ax+by+cz=d}$

alakú, akkor ${\displaystyle (a,b,c)}$ a sík normálvektora.^[1]

Ha az ${\displaystyle E}$ sík a feszítő ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ és ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ vektorokkal van adva, akkor, mivel az ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$ vektor mindkét feszítő vektorra merőleges, egy lienáris egyenletrendszer adódik:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}\,n_{1}+u_{2}\,n_{2}+u_{3}\,n_{3}&=0\\v_{1}\,n_{1}+v_{2}\,n_{2}+v_{3}\,n_{3}&=0\end{aligned}}}$

Minden, a ${\displaystyle (0,0,0)}$ triviális megoldástól különböző megoldás normálvektort eredményez.^[1]

Egy másik lehetőség a vektoriális szorzás felhasználásával adódik a normális kiszámítására:^[1]

${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\\u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\\u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\end{pmatrix}}}$

egy vektor, ami merőleges az ${\displaystyle {\vec {u}}}$ és ${\displaystyle {\vec {v}}}$ vektorokra, és ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ ebben a sorrendben jobbfogású rendszert alkot.

Ha ${\displaystyle E}$ egyenlete

${\displaystyle z=ax+by+c}$ alakú,

akkor ${\displaystyle (-a,-b,1)}$ egy felfelé és ${\displaystyle (a,b,-1)}$ egy lefelé mutató normálvektor.

Ahogy az egyenesnél, úgy a síknál is kapható egységnormálvektor, ha a normálvektort elosztjuk hosszával. A másik egységnormálvektor ebből ${\displaystyle -1}$-gyel való szorzással kapható. Tetszőleges normálvektor megkapható egy alkalmas nullától különböző számmal való szorzással.

Egy síkot egyértelműen meghatározza egy pontja és egy normálisa.^[1]

Az analízisben és a differenciálgeometriában egy síkgörbe adott pontbeli normálvektora egy vektor, ami merőleges a helyi érintőre. A normálvektor egyenese a normális, ami merőleges az érintőre.^[1]

Ha a görbe egy differenciálható függvény, ${\displaystyle f}$ grafikonjaként van adva, akkor az érintő meredeksége az ${\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}$ pontban ${\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})\,}$, tehát a normális meredeksége

${\displaystyle m_{n}=-{\frac {1}{m_{t}}}=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\,.}$

Így az ${\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}$ pontban a normális

${\displaystyle y=f(x_{0})+m_{n}(x-x_{0}),}$

azaz

${\displaystyle y=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})}$^[1]

Ha a síkgörbe paraméteresen van adva, és egyenlete ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$, akkor ${\displaystyle {\dot {c}}(t)=({\dot {x}}(t),{\dot {y}}(t))}$ érintővektor a ${\displaystyle c(t)}$ pontban, és ${\displaystyle ({\dot {y}}(t),-{\dot {x}}(t))}$ egy jobbra mutató normálvektor. Itt a differenciálgeometriában szokásos módon a pötty a görbe paramétere szerinti deriváltat jelenti.^[1]

Térgörbék esetén a normálvektorok egy kétdimenziós alvektorteret alkotnak, a hozzá tartozó affin altér a ${\displaystyle P}$ ponton átmenő, a görbére merőleges sík. Az elemi differenciálgeometriában a görbület irányába mutató egységvektort választjuk. Ez a főnormális egységvektor, lásd még: Frenet-formulák.

A görbékhez hasonlóan, egy felület normálvektora a háromdimenziós térben egy vektor, ami merőleges a helyi érintősíkra.

Ha a felület az

${\displaystyle F\colon U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto F(u,v)}$

paraméteres alakban van adva, akkor az

${\displaystyle F_{u}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial u}}(u,v)}$ és ${\displaystyle F_{v}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial v}}(u,v)}$

vektorok az érintősík feszítővektorai az ${\displaystyle F(u,v)}$ pontban, feltéve, hogy az ${\displaystyle (u,v)}$ felület reguláris, azaz ${\displaystyle F_{u}(u,v)}$ és ${\displaystyle F_{v}(u,v)}$ lineárisan független. Egy normálvektor az ${\displaystyle F(u,v)}$ pontban egy vektor, ami merőleges az ${\displaystyle F_{u}(u,v)}$ és ${\displaystyle F_{v}(u,v)}$ vektorokra, például az :${\displaystyle N(u,v):={\frac {F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)}{\left|F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)\right|}}\,.}$ vektoriális szorzattal számított és lenormált főnormális egységvektor. Itt a függőleges vonalak az euklideszi normát jelentik.^[2]

Ha a felület az

${\displaystyle g(x,y,z)=0}$

implicit egyenlettel van adva, ahol ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ differenciálható függvény, akkor az

${\displaystyle \operatorname {grad} g(x,y,z)=\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial z}}(x,y,z)\right)}$

gradiens az ${\displaystyle (x,y,z)}$ pontbeli normálvektora, feltéve, hogy nem tűnik el.

Ha a felület az ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ differenciálható függvény grafikonjaként van adva, akkor

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y),-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y),1\right)}$

felfelé mutató normálvektor a ${\displaystyle p=(x,y,f(x,y))}$ pontban. Ez megkapható, ha ${\displaystyle F(x,y)=(x,y,f(x,y))}$ egy paraméterezés, vagy a felület az ${\displaystyle F(x,y)=(x,y,f(x,y))}$ egyenlettel van megadva.^[1][2]

A normálvektor fogalma általánosítható:

• affin alterekre (általánosított síkok), magasabb dimenziós euklideszi terekben, különösen hipersíkokra
• felületekre, hiperfelületekre, részsokaságokra magasabb dimenziós euklideszi terekben
• Riemann-sokaságok felületei, hiperfelületei és részsokaságai
• Nem sima objektumok, mint konvex testek és rektifikálható halmazok.

Az analízisben és a differenciálgeometriában a normálvektorok központi szerepet játszanak a felszínek és a felületi integrálok számításában. A számítógépes grafikában többek között a normálvektort is használják arra, hogy egy felület a felhasználó felé fordul-e, ez alapján kizárhatók a nem látható felületek. A többi felülethez a fénybeesés és tükröződések számításához.

• Weisstein, Eric W.: normal vector (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Normalenvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.