Racionális törtfüggvény

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

y = P m ( x ) Q n ( x ) = a m x m + a m 1 x m 1 + . . . + a 1 x + a 0 b n x n + b n 1 x n 1 + . . . + b 1 x + b 0 {\displaystyle y={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}} .

A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} nem nulla.

Típusai

Ha a Q n {\displaystyle Q_{n}} polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.

Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.

Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.

A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző z {\displaystyle z} fokaira és a nevező különböző n {\displaystyle n} fokaira:

Példa Alternatív írásmód z = n = Függvénytípus
f : x 3 x 3 4 x + 5 2 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {3x^{3}-4x+5}{2}}} f : x 3 2 x 3 2 x + 5 2 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {3}{2}}x^{3}-2x+{\frac {5}{2}}} 3 0 racionális egészfüggvény
f : x 2 x 1 x 2 + 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}} 1 2 valódi racionális törtfüggvény
f : x ( x 1 ) 2 ( x + 2 ) x ( 2 3 x 2 ) {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {(x-1)^{2}\cdot (x+2)}{x\cdot (2-3x^{2})}}} f : x x 3 3 x + 2 2 x 3 x 3 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}} 3 3 nem valódi racionális törtfüggvény
f : x x + 1 + 1 x 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}} f : x x 2 x 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}} 2 1 nem valódi racionális törtfüggvény

Tulajdonságai

Mivel Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszám

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

{ y . Q n ( x ) = P m ( x ) y . a m x m + = a n x n + {\displaystyle {\begin{cases}y.Q_{n}(x)=P_{m}(x)\\y.a_{m}x^{m}+\dots =a_{n}x^{n}+\dots \end{cases}}}

{ r = m + 1 ,   ( m + 1 n ) r = n ,   ( m + 1 < n ) {\displaystyle {\begin{cases}r=m+1,~(m+1\geq n)\\r=n,~(m+1<n)\end{cases}}}

Fontosabb törtfüggvények

Fordított arányosság

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

y = a x   ;   x y = a {\displaystyle y={\frac {a}{x}}~;~xy=a}

(Az ábrán a < 0 {\displaystyle a<0} együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

Lineáris törtfüggvény

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvény

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvény

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

Az ábrán az y = 1 a x 2 + b x + c {\displaystyle y={\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}} explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

Aszimptotika

A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.

A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében z {\displaystyle z} a számláló, n {\displaystyle n} a nevező fokszáma. Ha x {\displaystyle x\to \infty } , akkor f ( x ) {\displaystyle f(x)}

  • tart sgn ( a z b n ) {\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}\right)\cdot \infty } -hez, hogyha z > n {\displaystyle z>n} , ahol sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } a szignumfüggvény.
  • tart a z b n {\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}} -hez, ha z = n {\displaystyle z=n} (az aszimptota párhuzamos az x {\displaystyle x} -tengellyel),
  • tart 0 {\displaystyle 0} -hoz (az x {\displaystyle x} -tengely vízszintes aszimptota), ha z < n {\displaystyle z<n} .

Ha x {\displaystyle x\to -\infty } , akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint x {\displaystyle x\to \infty } esetén. A többi eset:

  • Ha z n {\displaystyle z-n} páros, akkor az érték ugyanaz, mint x {\displaystyle x\to \infty } esetén.
  • Ha z n {\displaystyle z-n} páratlan, akkor az előjel ellentettje az x {\displaystyle x\to \infty } értékének.

Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A z = n + 1 {\displaystyle z=n+1} speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az x ± {\displaystyle x\to \pm \infty } viselkedése egyszerűbben elemezhető.

Példák:

  • Az f : x 2 x 1 x 2 + 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}} lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka z = 1 {\displaystyle z=1} és a nevező foka n = 2 {\displaystyle n=2} , így az x ± {\displaystyle x\to \pm \infty } határérték 0 {\displaystyle 0} .
  • Az f : x x 3 3 x + 2 2 x 3 x 3 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}} racionális törtfüggvény számlálójának foka z = 3 {\displaystyle z=3} , nevezőjének foka n = 3 {\displaystyle n=3} ; a főegyütthatók a 3 = 1 {\displaystyle a_{3}=1} und b 3 = 3 {\displaystyle b_{3}=-3} , tehát adódik az aszimptota egyenlete: y = 1 3 {\displaystyle y=-{\frac {1}{3}}} .
  • Az f : x x 2 x 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}} racionális törtfüggvény számlálójának foka z = 2 {\displaystyle z=2} , nevezőjének foka n = 1 {\displaystyle n=1} ; az a 2 = 1 {\displaystyle a_{2}=1} és b 1 = 1 {\displaystyle b_{1}=1} főegyütthatókkal adódik, hogy

f ( x ) sgn ( 1 1 ) = + {\displaystyle f(x)\to \operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{1}}\right)\cdot \infty =+\infty } , ha x {\displaystyle x\to \infty } . Mivel z n = 1 {\displaystyle z-n=1} páratlan, azért x {\displaystyle x\to -\infty } határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint f : x x + 1 + 1 x 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}} , a ferde aszimptota egyenlete y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} , amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.

Diszkusszió

Az f = p q : x p ( x ) q ( x ) {\displaystyle f={p \over q}\colon x\mapsto {\frac {p(x)}{q(x)}}} függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.

Szimmetria

Mivel szakadásai a q {\displaystyle q} gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az f {\displaystyle f} periodikusságáról nem lehet szó.

Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az f {\displaystyle f} racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:

  • Ha p {\displaystyle p} és q {\displaystyle q} egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
  • Ha p {\displaystyle p} és q {\displaystyle q} egyike páros, másika páratlan, akkor f {\displaystyle f} páratlan.

Egyéb esetben nehéz f {\displaystyle f} szimmetriáját meghatározni.

Példák:

  • Az f ( x ) = 2 x 3 3 x x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}-3x}{x^{2}+1}}} függvény szimmetrikus az origóra, mivel p {\displaystyle p} páratlan és q {\displaystyle q} páros, a függvény páratlan.
  • Az f : x x 5 x 3 x 3 + x {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{5}-x^{3}}{x^{3}+x}}} függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel p {\displaystyle p} és q {\displaystyle q} is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az f ( x ) = x 4 x 2 x 2 + 1 x x {\displaystyle f(x)={\frac {x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}}*{\frac {x}{x}}} . Mivel itt p {\displaystyle p} és q {\displaystyle q} páros, azért a hányados függvény is páros.
  • Az f ( x ) = x x 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x-1}}} függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:
    f ( 1 + x ) 1 = 1 + x ( 1 + x ) 1 1 = 1 + x x x x = 1 x {\displaystyle f(1+x)-1={\frac {1+x}{(1+x)-1}}-1={\frac {1+x}{x}}-{\frac {x}{x}}={\frac {1}{x}}} és
    1 f ( 1 x ) = 1 1 x ( 1 x ) 1 = x x + 1 x x = 1 x {\displaystyle 1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{(1-x)-1}}={\frac {x}{x}}+{\frac {1-x}{x}}={\frac {1}{x}}} .
Eszerint elvégezve az átalakításokat f ( 1 + x ) 1 = 1 f ( 1 x ) {\displaystyle f(1+x)-1=1-f(1-x)} , tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható g : x 1 x {\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}} -ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.

Értelmezési tartomány, nevezetes pontok

A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a q {\displaystyle q} polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei p {\displaystyle p} -nek, de nem gyökei q {\displaystyle q} -nak.

Speciális esetben az a R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több x a {\displaystyle x-a} tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.

  • Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
  • Különben a szakadás megszüntethető.

Példák:

  • Az f : x x 1 ( 2 x 4 ) 2 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x-1}{(2x-4)^{2}}}} függvény értelmezési tartománya D = R { 2 } {\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{2\}} , mivel a q : x ( 2 x 4 ) 2 {\displaystyle q\colon x\mapsto (2x-4)^{2}} nevezőnek nullhelye x = 2 {\displaystyle x=2} . A függvénynek nullhelye van x = 1 {\displaystyle x=1} -ben, mivel ez a p : x x 1 {\displaystyle p\colon x\mapsto x-1} számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. x = 2 {\displaystyle x=2} kétszeres pólus.
  • Az f : x x 2 x x 2 1 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}-x}{x^{2}-1}}} függvény értelmezési tartománya D f = R { ± 1 } {\displaystyle \mathbb {D} _{f}=\mathbb {R} \setminus \{\pm 1\}} . Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az ( x 1 ) {\displaystyle (x-1)} tényezőt, adódik, hogy f : x x ( x 1 ) ( x + 1 ) ( x 1 ) {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}} . Innen x = 1 {\displaystyle x=-1} egyszeres pólus, x = 1 {\displaystyle x=1} megszüntethető szakadás, x = 0 {\displaystyle x=0} nullhely. Az x = 1 {\displaystyle x=1} helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. f {\displaystyle f} folytonos folytatására f ~ ( x ) = x x + 1 {\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {x}{x+1}}} és D f ~ = R { 1 } {\displaystyle \mathbb {D} _{\tilde {f}}=\mathbb {R} \setminus \{-1\}} .

Aszimptoták

Polinomosztással kapjuk a függvény p = g q + r {\displaystyle p=g\cdot q+r} alakját, ahol g {\displaystyle g} és r {\displaystyle r} polinomok, és r {\displaystyle r} fokszáma kisebb, mint q {\displaystyle q} fokszáma. Az f = p q = g + r q {\displaystyle f={p \over q}=g+{r \over q}} függvény aszimptotikus viselkedését a g {\displaystyle g} polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.

  1. z < n {\displaystyle z<n} → az x-tengely aszimptota: g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0}
  2. z = n {\displaystyle z=n} → függőleges aszimptota: g ( x ) = a z b n {\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}
  3. z = n + 1 {\displaystyle z=n+1} → ferde aszimptota: g ( x ) = m x + c ; m 0 {\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0} (a 4-es speciális esete)
  4. z > n + 1 {\displaystyle z>n+1} → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció

Derivált

A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.

Példák:

  • Az f : x 2 x 1 ( x 2 + 1 ) 2 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{(x^{2}+1)^{2}}}} függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a q {\displaystyle q} nevező deriváltja:
    q ( x ) = 2 ( x 2 + 1 ) 2 x = 4 x ( x 2 + 1 ) {\displaystyle q'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x=4x(x^{2}+1)} ,
így a teljes függvény deriváltja
f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 ) 2 ( 2 x 1 ) 4 x ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) 4 {\displaystyle f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)^{2}-(2x-1)\cdot 4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}} .
A számlálóban kiemelhetünk egy ( x 2 + 1 ) {\displaystyle (x^{2}+1)} tényezőt:
f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 ) ( 2 x 1 ) 4 x ( x 2 + 1 ) 3 ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)-(2x-1)\cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}}{\frac {(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)}}} .
  • Az f ( x ) = x 4 + x 3 7 x 2 12 x 4 3 x 3 + 12 x 2 + 12 x {\displaystyle f(x)={\frac {x^{4}+x^{3}-7x^{2}-12x-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}} függvény polinomosztással
    f ( x ) = 1 3 x 1 + x 2 4 3 x 3 + 12 x 2 + 12 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x^{2}-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}}
alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:
y = 1 3 x 1 {\displaystyle y={\frac {1}{3}}x-1} .
A számláló és a nevező tényezőkre bontása:
f ( x ) = 1 3 x 1 + ( x + 2 ) ( x 2 ) 3 x ( x + 2 ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {(x+2)(x-2)}{3x(x+2)^{2}}}} ,

felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy ( x + 2 ) {\displaystyle (x+2)} tényező. A deriválásra előkészített alak:

f ( x ) = 1 3 x 1 + x 2 3 x 2 + 6 x ( x + 2 ) ( x + 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x-2}{3x^{2}+6x}}{\frac {(x+2)}{(x+2)}}} ;

az egyszerűség kedvéért ebből az

f ( x ) = 1 3 x 1 + x 2 3 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x-2}{3x^{2}+6x}}} ;

tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal

f ( x ) = 1 3 + 1 ( 3 x 2 + 6 x ) ( x 2 ) ( 6 x + 6 ) ( 3 x 2 + 6 x ) 2 = 1 3 + 3 x 2 + 12 x + 12 ( 3 x 2 + 6 x ) 2 = 1 3 + x 2 + 4 x + 4 3 x 2 ( x + 2 ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot (3x^{2}+6x)-(x-2)\cdot (6x+6)}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-3x^{2}+12x+12}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}} .

A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:

f ( x ) = x 2 ( x + 2 ) 2 x 2 + 4 x + 4 3 x 2 ( x + 2 ) 2 = x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 4 3 x 2 ( x + 2 ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}={\frac {x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}} .

Primitív függvény

A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:

1 m x + a d x = 1 m ln ( m x + a ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{mx+a}}dx={\frac {1}{m}}\cdot \ln(mx+a)+C} ha m , a R , m 0 {\displaystyle m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0}
1 ( m x + a ) n d x = 1 m 1 n 1 1 ( m x + a ) n 1 + C {\displaystyle \int {\frac {1}{(mx+a)^{n}}}dx={\frac {1}{m}}\cdot {\frac {-1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{(mx+a)^{n-1}}}+C} ha m , a R , m 0 , n N { 0 ; 1 } {\displaystyle m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0,n\in \mathbb {N} \setminus \{0;1\}}
1 x 2 + 1 d x = arctan ( x ) + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=\arctan(x)+C} vagy = a r c c o t ( x ) + C {\displaystyle =-{\rm {arccot(x)+C}}}
1 x 2 1 d x = artanh ( x ) + C = 1 2 ln ( 1 + x 1 x ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {artanh} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)} ha | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
1 x 2 1 d x = arcoth ( x ) + C = 1 2 ln ( x + 1 x 1 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {arcoth} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)} ha | x | > 1 {\displaystyle |x|>1}
u ( x ) u ( x ) d x = ln | u ( x ) | + C {\displaystyle \int {\frac {u'(x)}{u(x)}}dx=\ln |u(x)|+C} ha u ( x ) 0 {\displaystyle u(x)\neq 0}

Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:

  • Keressük az f ( x ) = 5 x 1 3 x + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {5x-1}{3x+2}}} függvény primitív függvényét. Polinomosztással:
    f ( x ) = 5 3 13 9 x + 6 {\displaystyle f(x)={\frac {5}{3}}-{\frac {13}{9x+6}}} .
Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:
F ( x ) = 5 3 x 13 9 ln ( 9 x + 6 ) {\displaystyle F(x)={\frac {5}{3}}x-{\frac {13}{9}}\ln(9x+6)} .
  • Keressük az f ( x ) = x 2 + 1 x 2 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}} függvény primitív függvényét, ha x {\displaystyle x} abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással
    f ( x ) = 1 + 2 x 2 1 {\displaystyle f(x)=1+{\frac {2}{x^{2}-1}}} .
A negyedik szabállyal:
F ( x ) = x + 2 artanh ( x ) {\displaystyle F(x)=x+2\cdot \operatorname {artanh} (x)} .
  • Keressük az f ( x ) = x + 2 x 2 + 4 x + 5 {\displaystyle f(x)={\frac {x+2}{x^{2}+4x+5}}} függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint
    f ( x ) = 1 2 2 x + 4 x 2 + 4 x + 5 = 1 2 u ( x ) u ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}{\frac {2x+4}{x^{2}+4x+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {u'(x)}{u(x)}}} , ahol u ( x ) = x 2 + 4 x + 5 {\displaystyle u(x)=x^{2}+4x+5} .
Az utolsó szabály primitív függvénye:
F ( x ) = 1 2 ln ( x 2 + 4 x + 5 ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+4x+5)} .
  • Az f ( x ) = 1 x 2 + 2 x + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x+2}}} függvény primitív függvénye az y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:
    1 x 2 + 2 x + 2 d x = 1 ( x + 1 ) 2 + 1 d x = 1 y 2 + 1 d y = arctan ( y ) + C = arctan ( x + 1 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}dx&=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}dx=\int {\frac {1}{y^{2}+1}}dy\\&=\arctan(y)+C=\arctan(x+1)+C\end{aligned}}}
  • Az f ( x ) = 1 x 2 x 6 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-x-6}}} primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:
    1 x 2 x 6 d x = 1 ( x 3 ) ( x + 2 ) d x = 1 5 ( 1 x 3 1 x + 2 ) d x = 1 5 ( ln ( x 3 ) ln ( x + 2 ) ) + C = 1 5 ln ( x 3 x + 2 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-x-6}}dx&=\int {\frac {1}{(x-3)(x+2)}}dx=\int {\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x+2}}\right)dx\\&={\frac {1}{5}}\left(\ln(x-3)-\ln(x+2)\right)+C={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {x-3}{x+2}}\right)+C\end{aligned}}}

Alkalmazások

A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:

  • Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
  • Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
  • Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
  • Egy síkkondenzátor C {\displaystyle C} elektromos kapacitása a lemezek közötti d {\displaystyle d} távolság függvényében:
C ( d ) = ϵ 0 ϵ r A d {\displaystyle C(d)=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\tfrac {A}{d}}} ,
ahol A {\displaystyle A} a lemezek felülete, ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} a vákuum permittivitása, és ϵ r {\displaystyle \epsilon _{r}} a permittivitás.
  • A fizika több területén is előkerül az f ( x ; y ) = x y x ± y {\displaystyle f(x;y)={\tfrac {xy}{x\pm y}}} függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.
  • Az optikában egy lencse f {\displaystyle f} gyújtótávolsága a tárgy t {\displaystyle t} és a kép k {\displaystyle k} távolságágából számítható: f ( t ; k ) = t k t + k {\displaystyle f(t;k)={\tfrac {tk}{t+k}}} ; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
  • Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, R 1 {\displaystyle R_{1}} és R 2 {\displaystyle R_{2}} együttes ellenállása: R = R 1 R 2 R 1 + R 2 {\displaystyle R={\tfrac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}} . Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
  • A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk D 1 {\displaystyle D_{1}} és D 2 {\displaystyle D_{2}} , akkor az együttes rugóállandó D = D 1 D 2 D 1 + D 2 {\displaystyle D={\tfrac {D_{1}D_{2}}{D_{1}+D_{2}}}} .
  • Feszültségelosztó esetén egy R {\displaystyle R} ellenálláson eső U {\displaystyle U} feszültség U ( R ) = U 0 R R + R {\displaystyle U(R)={\tfrac {U_{0}R}{R+R'}}} , ahol U 0 {\displaystyle U_{0}} az elosztandó feszültség és R {\displaystyle R'} a másik ellenállás.
  • Egy R {\displaystyle R} ellenállású fogyasztó által leadott P {\displaystyle P} teljesítményére adódik, hogy P ( R ) = U 2 R ( R + R i ) 2 {\displaystyle P(R)={\tfrac {U^{2}R}{(R+R_{i})^{2}}}} , ahol U {\displaystyle U} feszültség és R i {\displaystyle R_{i}} a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: R = R i {\displaystyle R=R_{i}} .
  • Egy nem túl rövid L {\displaystyle L} induktivitású tekercsre az r {\displaystyle r} sugárral összefüggésben teljesül a következő: L ( r ) = μ 0 N 2 π r 2 l + r / 1 , 1 {\displaystyle L(r)={\tfrac {\mu _{0}N^{2}\pi r^{2}}{l+r/1,1}}} , ahol l {\displaystyle l} a tekercs hossza, N {\displaystyle N} a menetek száma, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} a mágneses mező konstansa.
  • Egy Atwood-féle gép esetén az a {\displaystyle a} gyorsulás a következőképpen függ m {\displaystyle m} és M {\displaystyle M} tömegektől: a = m 2 M + m g {\displaystyle a={\tfrac {m}{2M+m}}\cdot g} ; a {\displaystyle a} tekinthető m {\displaystyle m} vagy M {\displaystyle M} racionális törtfüggvényének.
  • A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy l {\displaystyle l} , 2 r {\displaystyle 2r} , és r {\displaystyle r} élű téglatest és egy erre illesztett l {\displaystyle l} magasságú, r {\displaystyle r} sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: A ( r ) = ( π + 4 ) r 3 + 2 V r {\displaystyle A(r)={\tfrac {(\pi +4)r^{3}+2V}{r}}} .

Polinomok hányadosteste

Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy K {\displaystyle K} test fölötti n {\displaystyle n} változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

p ( x ) = x 1 x 2 1 {\displaystyle p(x)={\frac {x-1}{x^{2}-1}}}

és a

q ( x ) = 1 x + 1 {\displaystyle q(x)={\frac {1}{x+1}}}

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott x 2 1 {\displaystyle x^{2}-1} osztható x 1 {\displaystyle x-1} -gyel, és a hányados x + 1 {\displaystyle x+1} . De ha p ( x ) {\displaystyle p(x)} -et és q ( x ) {\displaystyle q(x)} -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen q ( x ) {\displaystyle q(x)} értelmezhető az x = 1 {\displaystyle x=1} helyen, p ( x ) {\displaystyle p(x)} viszont nem.

Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben 1 X p X {\displaystyle {\tfrac {1}{X^{p}-X}}} jóldefiniált racionális függvénye X {\displaystyle X} -nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.

Ugyanis behelyettesítve x F p {\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}} elemeit, kapjuk, hogy 1 x p x {\displaystyle {\tfrac {1}{x^{p}-x}}} , ami nem értelmezhető, hiszen x p x {\displaystyle x^{p}-x} a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.

Legyen V {\displaystyle V} varietás, amit az f 1 , , f m k [ x 1 , , x n ] {\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{m}\in k\left[x_{1},\dotsc ,x_{n}\right]} polinomok definiálnak. Azaz

V = { x A n f ( x ) = 0  minden  f S } {\displaystyle V=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ minden }}f\in S\}} esetén. Vagyis
I ( V ) = { f k [ x 1 , , x n ] f ( x ) = 0  ha  x V } . {\displaystyle I(V)=\{f\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ ha }}x\in V\}.}

Az egfész függvények gyűrűje k [ x 1 , , x n ] / I ( V ) {\displaystyle k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]/I(V)} . A racionális függvények teste ennek hányadosteste.

Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} -be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.

Források

Commons:Category:Rational functions
A Wikimédia Commons tartalmaz Racionális törtfüggvény témájú médiaállományokat.
  • Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch © 2000 - 2001 by Henning Koch

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
  • Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.