Rayleigh-eloszlás
A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.
A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.
Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.
Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.
Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.
A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:
ahol és a kumulatív eloszlás függvény:
ahol
Tulajdonságok
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Rayleigh_distributionPDF.png/300px-Rayleigh_distributionPDF.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Rayleigh_distributionCDF.png/300px-Rayleigh_distributionCDF.png)
A nyers momentum:
ahol a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:
és
A ferdeség:
A többlet lapultság:
A karakterisztikus függvény:
ahol a képzetes hibafüggvény.
A momentum-generáló függvény:
ahol a hibafüggvény.
Információ entrópia
Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény:
ahol az Euler–Mascheroni állandó.
Paraméter becslés
N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a maximális valószínűsége:
A értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.[1][2]
Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása
Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:
Rayleigh-eloszlású lesz paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:
Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.
Kapcsolódó eloszlások
- Ha Rayleigh-eloszlású, akkor , ahol , és független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
- Ha , akkor khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal:
- Ha X exponenciális eloszlású , akkor , then .
- Ha , akkor gamma-eloszlású, and : paraméterekkel.
- A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
- A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
- A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez :
.
- A Maxwell–Boltzmann-eloszlás írja le a normál vektor nagyságrendjét három dimenzióban.
Kapcsolódó szócikkek
- Rayleigh-fading
- Maxwell–Boltzmann statisztika
- Boltzmann-eloszlás
- Maxwell sebesség eloszlás
- Matematikai statisztika
- Normális eloszlás
- Szórás
- Nakagami-eloszlás
- Norma
- Valószínűségi változó
- Szórásnégyzet
- Entrópia
Források
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap