Bentuk turunan

Dalam statistika, dan khususnya dalam ekonometrika, bentuk turunan dari sistem persamaan adalah hasil dari penyelesaian sistem untuk variabel endogen. Ini memberikan yang terakhir sebagai fungsi dari variabel eksogen, jika ada. Dalam ekonometrika, persamaan model bentuk struktural diestimasi dalam bentuk yang diberikan secara teoritis, sedangkan pendekatan alternatif untuk estimasi adalah dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan teoretis untuk variabel endogen untuk mendapatkan persamaan bentuk turunan, dan kemudian memperkirakan persamaan bentuk turunan.

Misalkan ${\displaystyle Y}$ adalah vektor variabel yang akan dijelaskan (variabel endogen) oleh model statistik dan X adalah vektor variabel penjelas (eksogen). Selain itu biarkan ${\displaystyle \varepsilon }$ menjadi vektor istilah kesalahan. Maka ekspresi umum dari suatu bentuk struktural adalah ${\displaystyle f(Y,X,\varepsilon )=0}$, di mana ${\displaystyle f}$ adalah sebuah fungsi, kemungkinan dari vektor ke vektor dalam kasus model persamaan ganda. Bentuk turunan dari model ini diberikan oleh ${\displaystyle Y=g(X,\varepsilon )}$, dengan ${\displaystyle g}$ sebagai fungsi.

Variabel eksogen adalah variabel yang tidak ditentukan oleh sistem. Jika kita mengasumsikan bahwa permintaan tidak hanya dipengaruhi oleh harga, tetapi juga oleh variabel eksogen, Z, kita dapat mempertimbangkan struktur model penawaran dan permintaan

Penawaran: ${\displaystyle Q=a_{S}+b_{S}P+u_{S},}$

Permintaan: ${\displaystyle a_{D}+b_{D}P+cZ+u_{D},}$

dimana istilahnya adalah kesalahan acak (penyimpangan jumlah yang ditawarkan dan diminta dari yang tersirat oleh sisa setiap persamaan). Dengan mencari ${\displaystyle Q}$ dan ${\displaystyle P}$ yang tidak diketahui (variabel endogen), model struktural ini dapat ditulis ulang dalam bentuk turunan:

${\displaystyle Q=\pi _{10}+\pi _{11}Z+e_{Q},}$

${\displaystyle P=\pi _{20}+\pi _{21}Z+e_{P},}$

dimana parameternya ${\displaystyle \pi _{ij}}$ tergantung pada parameternya ${\displaystyle a_{i},b_{i},c}$ dari model struktural, dan di mana kesalahan bentuk dikurangi ${\displaystyle e_{i}}$ masing-masing bergantung pada parameter struktural dan pada kedua kesalahan struktural. Perhatikan bahwa kedua variabel endogen tergantung pada variabel eksogen Z .

Jika model bentuk tereduksi diestimasi menggunakan data empiris, diperoleh nilai estimasi untuk koefisien ${\displaystyle \pi _{ij}}$, beberapa parameter struktural dapat dipulihkan: Dengan menggabungkan dua persamaan bentuk tereduksi untuk menghilangkan Z , koefisien struktural model sisi suplai (${\displaystyle a_{S}}$ dan ${\displaystyle b_{S}}$) dapat diturunkan:

${\displaystyle a_{S}=(\pi _{10}\pi _{21}-\pi _{11}\pi _{20})/\pi _{21},}$

${\displaystyle b_{S}=\pi _{11}/\pi _{21}.}$

Namun perlu dicatat, bahwa ini masih tidak memungkinkan kita untuk mengidentifikasi parameter struktural dari persamaan permintaan. Untuk itu, diperlukan variabel eksogen yang dimasukkan dalam persamaan penawaran model struktural, tetapi tidak dimasukkan dalam persamaan permintaan.

Misalkan y adalah vektor kolom dari variabel endogen M. Dalam kasus di atas dengan Q dan P, kita mendapatkan M = 2. Misalkan z adalah vektor kolom dari variabel eksogen K ; dalam kasus di atas z hanya terdiri dari Z. Model linier struktural adalah

${\displaystyle Ay=Bz+v,}$

dimana ${\displaystyle v}$ adalah vektor guncangan struktural, dan A dan B adalah matriks; A adalah persegi M × M matriks, sedangkan B adalah M × K . Bentuk tereduksi dari sistem tersebut adalah:

${\displaystyle y=A^{-1}Bz+A^{-1}v=\Pi z+w,}$

dengan vektor ${\displaystyle w}$ dari kesalahan bentuk tereduksi yang masing-masing bergantung pada semua kesalahan struktural, di mana matriks A harus nonsingular agar bentuk tereduksi ada dan unik. Sekali lagi, setiap variabel endogen bergantung pada potensi setiap variabel eksogen.

Tanpa batasan pada A dan B , koefisien A dan B tidak dapat diidentifikasi dari data pada y dan z : setiap baris model struktural hanyalah hubungan linier antara y dan z dengan koefisien yang tidak diketahui. (Ini lagi-lagi masalah identifikasi parameter. Persamaan bentuk tereduksi M (baris persamaan matriks y = Π z di atas) dapat diidentifikasi dari data karena masing-masing hanya berisi satu variabel endogen.

• Sistem persamaan linear
• Persamaan simultan

• Dougherty, Christopher (2011). "Simultaneous Equations Estimation". Introduction to Econometrics (edisi ke-Fourth). New York: Oxford University Press. hlm. 331–353. ISBN 978-0-19-956708-9. 
• Goldberger, Arthur S. (1964). "Reduced-Form Estimation and Indirect Least Squares". Econometric Theory. New York: Wiley. hlm. 318–329. ISBN 0-471-31101-4. 
• Klein, Lawrence R. (1974). "Regression Systems of Linear Simultaneous Equations". A Textbook of Econometrics (edisi ke-Second). Englewood Cliffs: Prentice-Hall. hlm. 131–196. ISBN 0-13-912832-8. 
• Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (edisi ke-Second). New York: Macmillan. hlm. 651–660. ISBN 0-02-365070-2. 
• Wooldridge, Jeffrey M. (2002). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. Cambridge: MIT Press. hlm. 211–215. ISBN 0-262-23219-7. 

• Thoma, Mark (February 18, 2011). "Econometrics lecture (topic: structural and reduced form equations)". Economics 421/521. University of Oregon – via YouTube.