Limit (matematika)

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan perilaku suatu fungsi saat peubah bebasnya mendekati suatu titik tertentu, atau menuju tak hingga; atau perilaku dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk membangun pengertian kekontinuan, turunan dan integral.

Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) ${\displaystyle \neq }$ L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.

Sebagai contoh, ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}$ pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	${\displaystyle \Rightarrow }$ 0.4 ${\displaystyle \Leftarrow }$	0.3998	0.3988	0.3882

Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu ${\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}$. Dalam kasus di mana ${\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)}$, f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,

${\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if}}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{if}}x=2.\end{matrix}}\right.}$

Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), tetapi ${\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}$; g tidak kontinu pada titik x = 2.

Atau, bisa diambil contoh di mana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.

${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}$

Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama dengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	${\displaystyle \Rightarrow }$ undef ${\displaystyle \Leftarrow }$	2.001	2.010	2.10

Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari ${\displaystyle f(x)}$ adalah 2.

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila ${\displaystyle f}$ adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik ${\displaystyle c}$ (dengan kemungkinan pengecualian pada titik ${\displaystyle c}$) dan ${\displaystyle L}$ adalah bilangan real, maka

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

berarti bahwa untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon \ >0}$ terdapat ${\displaystyle \delta \ >0}$ yang untuk semua ${\displaystyle x}$ di mana ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }$, berlaku ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }$.

Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Sebagai contoh, lihat ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}$.

• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998

Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}$

Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalkan x₁, x₂, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$

yang artinya

Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n₀ sehingga untuk semua n > n₀, |x_n − L| < ε.

Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |x_n − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan x_n = f(x + 1/n).

Dalam analisis non-standar (yang melibatkan pembesaran bilangan hiperreal dari sistem bilangan), batas urutan ${\displaystyle (a_{n})}$ dapat diekspresikan sebagai bagian standar dari nilai ${\displaystyle a_{H}}$ dari perluasan alami urutan pada indeks hipernatural tak terbatas n=H. Jadi,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H})}$.

Di sini, fungsi bagian standar "st" membulatkan setiap bilangan hiperreal berhingga ke bilangan real terdekat (selisihnya adalah infinitesimal). Ini memformalkan intuisi alami bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah dalam urutan "sangat dekat" dengan nilai batas urutan. Sebaliknya, bagian standar dari sebuah hyperreal ${\displaystyle a=[a_{n}]}$ diwakili dalam konstruksi ultrapower oleh barisan Cauchy ${\displaystyle (a_{n})}$, hanyalah batas dari urutan itu:

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$.

Dalam pengertian ini, mengambil limit dan mengambil bagian standar adalah prosedur yang setara.

Wikibooks Kalkulus memiliki halaman di:

Limit

Bacaan lebih lanjut