Pemisahan variabel (juga dikenal dengan nama metode Fourier) adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial. Metode ini memungkinkan penulisan ulang persamaan agar setiap variabel berada di sisi yang berbeda.
Persamaan diferensial biasa
Apabila persamaan diferensial ditulis dalam bentuk:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94055b0943952e8cc08c616340952b49162569a)
persamaan ini dapat disederhanakan dengan membuat
:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb9eeb91530d2b548d8159b8f87a68d13a1840c)
Asalkan h(y) ≠ 0, persamaan ini dapat disusun ulang menjadi:
![{\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4999189b9a6eb4505e5849fa98b83761ca326e3c)
sehingga dua variabel x dan y telah dipisahkan.
Notasi alternatif
Bagi yang tidak menyukai notasi Leibniz, persamaannya bisa ditulis seperti ini:
![{\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28f3572c7bea49acd9c55e39a084c30c2dceefc)
Setiap sisi kemudian diintegrasikan sehubungan dengan
, sehingga diperoleh
![{\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a65e0a6d3ecf4bd8775d04e2721bc2893663449)
atau bisa juga ditulis:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0cf18f35b767a8961fbbca67acb88b395c73cb)
Contoh
Pertumbuhan populasi sering kali dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial berikut:
![{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f475b73fca6d665c78cc73ddd37dc9d45f91c5)
adalah populasi pada waktu
,
adalah tingkat pertumbuhan, dan
adalah kemampuan lingkungan untuk menampung pertambahan jumlah penduduk.
Pemisahan variabel perlu dilakukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0b1cba14d8bbd8b35f1cb5d289007c44e9edd4)
Untuk mencari integral di sisi kiri, pecahannya disederhanakan:
![{\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8d2ca9291548ff1dd7b17e92c7f51126856af6)
dan pecahan kemudian diubah menjadi pecahan parsial:
![{\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60aa95cce4f68e13400a1152047fb44ac8ae572b)
sehingga diperoleh:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Jika }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a21a5f2d18d7a0fd643e4815ece52af85c4fccb)
Maka solusi persamaan ini adalah:
![{\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc47e41c58579a93427155ab5cf04f7cf272ca0b)
Untuk mencari
, asumsikan
dan
. Maka diperoleh
![{\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab252ddde6300fc742df5788d40a7f1111ecb38)
Mengingat bahwa
, maka diperoleh:
![{\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9ffd4c6dd6817ac4a0462b01de54ad54233f64)
Catatan
Referensi
- Polyanin, Andrei D. (2001-11-28). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-299-9.
- Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5. Diakses tanggal 2011-03-29. [pranala nonaktif permanen]
- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics. 140. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.