Subobjek

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, Subobjek adalah objek dalam objek lain yaitu kategori. Generalisasi untuk konsep himpunan bagian dari teori himpunan, subgrup dari teori grup,^[1] dan subruang dari topologi. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan morfisme dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen.

Konsep ganda untuk subobjek adalah objek hasil bagi. Untuk menggeneralisasi konsep himpunan hasil bagi, grup hasil bagi, ruang hasil bagi, grafik hasil bagi, dll.

Definisi

Secara detail, maka ${\displaystyle A}$ adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua monomorfisme

${\displaystyle u:S\to A\ {\text{dan}}\ v:T\to A}$

dengan kodomain ${\displaystyle A}$, untuk ${\displaystyle u\leq v}$ jika ${\displaystyle u}$ faktor melalui ${\displaystyle v}$, jika ${\displaystyle \phi :S\to T}$ dengan ${\displaystyle u=v\circ \phi }$. Relasi biner ${\displaystyle \equiv }$ didefinisikan oleh

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{dan}}\ v\leq u}$

adalah relasi ekuivalen pada monomorfisme dengan kodomain ${\displaystyle A}$, dan kelas kesetaraan dari monomorfisme adalah subobjek dari ${\displaystyle A}$. Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan ${\displaystyle u\equiv v}$ jika dan hanya jika isomorfisme ${\displaystyle \phi :S\to T}$ with ${\displaystyle u=v\circ \phi }$.)

Relasi ≤ induksi sebuah urutan parsial pada himpunan sub-objek dari ${\displaystyle A}$.

Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah himpunan disebut sebagai pangkat well atau terkadang pangkat kecil lokal.

Contoh

• Dalam Himpunan, kategori himpunan, subobjek dari A dengan himpunan bagian B dari A, atau himpunan semua peta dari himpunan ekuipoten B dengan citra. Urutan parsial subobjek dari Himpunan untuk himpunan bagian kisi.
• Dalam Grp, kategori grup, sub-objek dari A dengan subgrup dari A.
• Diberikan kelas berurutan parsial P = (P, ≤), membentuk kategori dengan elemen P sebagai objek, dan satu panah dari p ke q jika dan hanya jika p ≤ q. Jika P menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme.
• Subobjek dari objek terminal disebut objek subterminal.

Lihat pula

• Pengklasifikasi subobjek
• Subhasilbagi

Catatan

Referensi

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (edisi ke-2nd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.