In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi
è decrescente e infinitesima, allora la serie
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4776ef57512914757ba97169e8dd255c82a3c9)
converge.
Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz.
Enunciato
Sia
una successione di numeri reali tale che:
- esiste un
tale che
per ogni
(quindi la successione
è monotona debolmente decrescente)
.
Allora[1] la serie
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4776ef57512914757ba97169e8dd255c82a3c9)
è convergente.
Dimostrazione
Poiché
è decrescente, per ogni
si ha che
![{\displaystyle s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480aa9e45c0eb50b137626e207ec837f06c615c6)
da cui segue che
![{\displaystyle s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c4cfe9ec0ea71580a38df9ddc242a7b8f89278)
Similmente
![{\displaystyle s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4e4d7905b708a4ae4d752a0d0c6207e4d963b4)
e quindi
![{\displaystyle s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5099e42021636d655ea14b4a43f9be68d3ce8fe)
Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre
e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre
e
. Per ogni
si ha
![{\displaystyle s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc72020ec9a0e290ed405230dd9c3f07349d89d9)
perché se fosse
potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni
da
e termine dispari distanti da
meno di
; per
sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.
Inoltre la distanza tra
e
diventa più piccola di ogni
; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa
ovvero
. Poniamo
. Essendo
il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni
esiste
tale che
per ogni
(con
pari). Allo stesso modo, essendo
il limite delle somme parziali dispari, esiste
tale che la disuguaglianza vale per ogni
dispari maggiore di
. Quindi prendendo
la disuguaglianza vale per ogni
, per ogni
pari e dispari, e si ha quindi
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcd754aa97790e9209ab1e9cf78e951a0a0ebbe)
e la serie converge.
Osservazioni sulla dimostrazione
- Dalla dimostrazione, abbiamo che
; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale
-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d7e548fb4b09a68e756775b37190d5bea0dc3e)
- calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
![{\displaystyle s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f74b9105e04f625f6bfb5fdb1414946d22c9c8)
- mentre la somma infinita vale esattamente
![{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b81804f82c576b049bc184f544bf9ebac2e19a3)
- e si nota che
![{\displaystyle |s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909\ldots ={\frac {1}{11}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db077fb34218ccbe3d2e67bbb489831d1fe95300)
- Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè
dove
soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.
Dimostrazione alternativa
Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica). Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.
Note
- ^ Rudin, pag. 71, che dà una formulazione equivalente del teorema.
Bibliografia
- Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
- (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.
Voci correlate
- Criteri di convergenza
- Criterio di Dirichlet (matematica)
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 40645 |
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