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In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.
Definizione
Componenti per il calcolo della Distanza di Hausdorff fra la linea verde X e quella blu Y.
Dato uno spazio metrico e due sottoinsiemi definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme la quantità
.
Si definisce eccedenza di A su B la quantità
.
Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra e la quantità
Proprietà
La distanza di Hausdorff è una funzione . Essa soddisfa le seguenti proprietà:
se allora
Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di . Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè implica ) se e sono chiusi.
Campi applicativi
La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni . Se si munisce della distanza di Hausdorff ed è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire continua in se
per ogni esiste un intorno di tale che per ogni in quell'intorno è .
Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.
Controllo di autorità
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