Ellissoide astroidale

Abbozzo geometria
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L'ellissoide astroidale è una figura geometrica definita dalla seguente equazione parametrica:

x = a ( cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 3 {\displaystyle x=a\left(\cos \phi \cos \theta \right)^{3}}
y = b ( sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 3 {\displaystyle y=b\left(\sin \phi \cos \theta \right)^{3}}
z = c ( sin ⁡ θ ) 3 {\displaystyle z=c\left(\sin \theta \right)^{3}}

con − π / 2 ≤ ϕ < π / 2 , − π ≤ θ < π , a , b , c ∈ R + {\displaystyle -\pi /2\leq \phi <\pi /2{\mbox{,}}\quad -\pi \leq \theta <\pi {\mbox{,}}\quad a,b,c\in R^{+}} .

Invece, l'equazione cartesiana è:

( x a ) 2 / 3 + ( y b ) 2 / 3 + ( z c ) 2 / 3 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2/3}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2/3}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2/3}=1} ,

Nell'imagine seguente sono rappresentati tre ellissoidi astroidali. Notiamo che il caso in cui a=b=c corrisponde al caso dell'ottaedro iperbolico.

  • Esempi di ellissoidi astroidali
  • a=1, b=1, c=1 questo è un caso particolare che coincide con l'ottaedro iperbolico
    a=1, b=1, c=1 questo è un caso particolare che coincide con l'ottaedro iperbolico
  • a=2, b=1, c=1
    a=2, b=1, c=1
  • a=1, b=2, c=2
    a=1, b=2, c=2

Curvatura

La curvatura gaussiana dell'ellissoide astroidale è:

K = a 2 b 2 c 2 sec 4 ⁡ θ 9 ( a 2 b 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ cos 6 ⁡ ϕ + 2 a 2 b 2 cos 2 ⁡ θ sin 4 ⁡ ϕ cos 4 ⁡ ϕ + a 2 ( b 2 cos 2 ⁡ θ sin 6 ⁡ ϕ + c 2 sin 2 ⁡ θ ) cos 2 ⁡ ϕ + b 2 c 2 sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ) 2 {\displaystyle K={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}\sec ^{4}\theta }{9\left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \cos ^{6}\phi +2a^{2}b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{4}\phi \cos ^{4}\phi +a^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{6}\phi +c^{2}\sin ^{2}\theta \right)\cos ^{2}\phi +b^{2}c^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \right)^{2}}}}

La curvatura media, invece è:

H = a b c cos 9 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ( 8 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ ( a 2 cos 2 ⁡ ϕ + b 2 sin 2 ⁡ ϕ ) cos 4 ⁡ θ + ( 4 ( a 2 − b 2 ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) + ( a 2 + b 2 ) ( cos ⁡ ( 4 ϕ ) + 3 ) ) sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 8 c 2 sin 4 ⁡ θ ) 48 ( cos 8 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ( a 2 b 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ cos 6 ⁡ ϕ + 2 a 2 b 2 cos 2 ⁡ θ sin 4 ⁡ ϕ cos 4 ⁡ ϕ + a 2 ( b 2 cos 2 ⁡ θ sin 6 ⁡ ϕ + c 2 sin 2 ⁡ θ ) cos 2 ⁡ ϕ + b 2 c 2 sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ) ) 3 / 2 {\displaystyle H={\frac {abc\cos ^{9}\theta \cos ^{2}\phi \sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \left(8\cos ^{2}\phi \sin ^{2}\phi \left(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi \right)\cos ^{4}\theta +\left(4\left(a^{2}-b^{2}\right)\cos(2\phi )+\left(a^{2}+b^{2}\right)(\cos(4\phi )+3)\right)\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +8c^{2}\sin ^{4}\theta \right)}{48\left(\cos ^{8}\theta \cos ^{2}\phi \sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \cos ^{6}\phi +2a^{2}b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{4}\phi \cos ^{4}\phi +a^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\theta \sin ^{6}\phi +c^{2}\sin ^{2}\theta \right)\cos ^{2}\phi +b^{2}c^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi \right)\right)^{3/2}}}}

Voci correlate

  • Ottaedro iperbolico
  • Astroide
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