Equazione differenziale di Abel

In matematica, l'equazione differenziale di Abel, che prende il nome dal matematico Niels Abel, è un'equazione differenziale ordinaria della forma:

y ′ = f 3 ( x ) y 3 + f 2 ( x ) y 2 + f 1 ( x ) y + f 0 ( x ) {\displaystyle y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,}

dove f 3 ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f_{3}(x)\neq 0} . Se f 3 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{3}(x)=0} e f 0 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{0}(x)=0} , oppure f 2 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{2}(x)=0} e f 0 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{0}(x)=0} , l'equazione si riduce all'equazione di Bernoulli, mentre se f 3 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{3}(x)=0} diventa l'equazione di Riccati.

Equazione del secondo tipo

La sostituzione y = 1 / u {\displaystyle y=1/u} produce una seconda equazione differenziale di Abel detta "del secondo tipo":

u u ′ = − f 0 ( x ) u 3 − f 1 ( x ) u 2 − f 2 ( x ) u − f 3 ( x ) {\displaystyle uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x)}

che si trova in letteratura anche senza il termine al cubo:

y y ′ = f ( x ) y 2 + g ( x ) y + h ( x ) {\displaystyle yy'=f(x)y^{2}+g(x)y+h(x)}

da non confondere con l'equazione di Riccati. Sostituendo in quest'ultima:

y = e ∫ f ( x ) d x z = E z {\displaystyle y=e^{\int {f(x)dx}}z=Ez}

l'equazione assume la forma:

z z ′ = g E z + h E 2 {\displaystyle zz'={\frac {g}{E}}z+{\frac {h}{E^{2}}}}

Introducendo la variabile indipendente:

u = ∫ g E {\displaystyle u=\int {\frac {g}{E}}}

l'equazione si riduce alla forma canonica:

z d z d u − z = Φ ( u ) {\displaystyle z{\frac {dz}{du}}-z=\Phi (u)}

La funzione Φ {\displaystyle \Phi } è definita parametricamente da:

{ Φ ( u ) = h ( x ) g ( x ) E ( x ) u = ∫ g ( x ) E ( x ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\Phi (u)={\frac {h(x)}{g(x)E(x)}}\\u=\int {\frac {g(x)}{E(x)}}\\\end{matrix}}\right.}

Ridotta in forma canonica, sono noti in letteratura molti casi risolvibili.

Bibliografia

  • (EN) Murphy, G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solution. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1960.
  • (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Voci correlate

  • Equazione di Bernoulli
  • Equazione di Riccati

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Equazione differenziale di Abel, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) N.Kh. Rozov, Abel differential equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) Wolfram Language Tutorial - Abel Equations, su reference.wolfram.com.
  • (EN) EqWorld - Abel equation (Abel differential equation) of the second kind in the canonical form (PDF), su eqworld.ipmnet.ru.
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