Estrazione di una base

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'estrazione di una base è un algoritmo che permette di estrarre una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori dello spazio.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$ su un campo ${\displaystyle K}$. Il teorema di estrazione di una base asserisce che se ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$ sono vettori che generano ${\displaystyle V}$, allora:^[1]

• Il numero ${\displaystyle k}$ è maggiore o uguale a ${\displaystyle n}$.
• Esistono ${\displaystyle n}$ vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ che formano una base di ${\displaystyle V}$.

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$. L'algoritmo funziona nel modo seguente: per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$, si controlla se il vettore ${\displaystyle i}$-esimo ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ è dipendente dai precedenti. Questo accade se e solo se:

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\rm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1})}$

Se un vettore è linearmente dipendente dagli altri si elimina dalla lista, altrimenti, si tiene. Per ${\displaystyle i=1}$, non ci sono vettori precedenti e si considera quindi lo span come l'insieme formato dal solo vettore nullo: quindi il primo vettore viene tenuto solo se diverso da zero. Il risultato finale è quindi un insieme di vettori indipendenti che continuano a generare ${\displaystyle V}$, ossia, per definizione, una base di ${\displaystyle V}$.

Si estrae una base di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dall'insieme :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo libero ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$. Allora si può verificare che ${\displaystyle (3,1),(2,0),(0,1)}$ generano tutto ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ma né ${\displaystyle (3,1),(2,0)}$, né ${\displaystyle (3,1),(0,1)}$ né ${\displaystyle (2,0),(0,1)}$ sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo libero ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ scegliendo ad esempio ${\displaystyle 2,3}$ come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

• Base (algebra lineare)
• Completamento a base
• Copertura lineare
• Spazio vettoriale

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