Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Sia ${\displaystyle \{a(n)\}}$ una funzione aritmetica, e sia

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a}}$. Allora la formula di Perron afferma che^[1]

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz\;}$,

per ogni ${\displaystyle x>0}$ e ${\displaystyle c>\sigma _{a}}$. In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando ${\displaystyle x}$ è un intero.

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile ${\displaystyle x=e^{t}}$. La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

dove

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

e ${\displaystyle \chi (n)}$ è un carattere di Dirichlet.

• (EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
• (EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

• Funzione aritmetica
• Trasformata di Mellin