Funzione Xi di Riemann

Funzione ξ ( s ) {\displaystyle \xi (s)} di Riemann nel piano complesso. Il colore di un punto s {\displaystyle s} codifica il valore della funzione. I colori più scuri indicano valori più vicini a zero e la tonalità codifica l'argomento del valore.

In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

Definizione

La funzione ξ {\displaystyle \xi } (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione   ξ   {\displaystyle ~\xi ~} fu definita, infatti, da Landau come[1]:

ξ ( s ) = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 Γ ( 1 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}

per s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } , con ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} che indica la funzione zeta di Riemann e Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la   Ξ   {\displaystyle ~\Xi ~} di Landau è ξ ( 1 − s ) = ξ ( s )   . {\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau[1] in funzione   Ξ   {\textstyle ~\Xi ~} come Ξ ( z ) = ξ ( 1 2 + z i ) , {\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),} che obbedisce all'equazione funzionale Ξ ( − z ) = Ξ ( z )   . {\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}

Si noti che la funzione   Ξ   {\displaystyle ~\Xi ~} sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola   ξ   {\displaystyle ~\xi ~} [1]. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

Valori

La forma generale per numeri interi pari positivi è

ξ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ( 2 n ) ! B 2 n 2 2 n − 1 π n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}

dove B n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per n = 1 {\displaystyle n=1} si ha ξ ( 2 ) = π 6 . {\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}.}

Rappresentazioni in serie

La funzione ξ {\displaystyle \xi } ha la seguente espansione in serie

d d z ln ⁡ ξ ( − z 1 − z ) = ∑ n = 0 ∞ λ n + 1 z n , {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}

dove

λ n = 1 ( n − 1 ) ! d n d s n [ s n − 1 log ⁡ ξ ( s ) ] | s = 1 = ∑ ρ [ 1 − ( 1 − 1 ρ ) n ] , {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],} e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di | ℑ ( ρ ) | . {\displaystyle |\Im (\rho )|.}

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere λ n > 0 , ∀ n > 0. {\displaystyle \lambda _{n}>0,\forall n>0.}

Prodotto di Hadamard

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

ξ ( s ) = 1 2 ∏ ρ ( 1 − s ρ ) , {\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!} dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma ρ {\displaystyle \rho } e 1 − ρ {\displaystyle 1-\rho } dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.

Note

  1. ^ a b c Landau.

Bibliografia

  • (DE) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, III, New York, Chelsea, 1974 [1909].
  • (EN) J. B. Keiper, Power series expansions of Riemann’s $\xi$ function, in Mathematics of Computation, LVIII, n. 198, 1º maggio 1992, pp. 765–765, DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.
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