Funzione di Whittaker
In matematica, una funzione di Whittaker, il cui nome si deve al matematico inglese Edmund Taylor Whittaker, è una soluzione dell'equazione di Whittaker, una variante dell'equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:
dove e assumono valori in .
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, ed è una forma ridotta dell'equazione ipergeometrica degenere. Più in generale, Hervé Jacquet introdusse negli anni '60 le funzioni di Whittaker per gruppi riduttivi su campi locali: le funzioni studiate da Whittaker sono sostanzialmente il caso in cui il campo locale è quello dei numeri reali e il gruppo è .
Due soluzioni sono date dalle funzioni speciali e introdotte da Whittaker nel 1904, e dette funzioni di Whittaker. La funzione può essere espressa con la funzione ipergeometrica confluente di Kummer:
La funzione può invece essere espressa mediante la funzione ipergeometrica confluente di Tricomi:
Whittaker ha ottenuto formule per esprimere funzioni speciali come le funzioni di Bessel, le funzioni paraboliche del cilindro, o la funzione gamma incompleta con le funzioni e .
Bibliografia
- (EN) E. T. Whittaker, An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions, Bull. Amer. Math. Soc. 10, 125-134 (1903).
- (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A course of modern analysis : an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions ; with an account of the principal transcendental functions, Cambridge University Press, 1915.
- (EN) H. A. Lauwerier, Confluent hypergeometric functions[collegamento interrotto], Center voor Wiskunde en Informatica, 1949
- (EN) M. Abramowitz; I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) [1]
Voci correlate
- Equazione ipergeometrica
- Equazione ipergeometrica confluente
- Equazioni di Bessel
- Funzione parabolica del cilindro
Collegamenti esterni
- (EN) N.Kh. Rozov, Whittaker equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Whittaker, su MathWorld, Wolfram Research.
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