Funzione di utilità CRRA

La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Adversion), cioè con coefficiente relativo di avversione al rischio costante, è:

U ( c t ) = c t 1 − γ 1 − γ   ∀ γ > 0 , γ ≠ 1 {\displaystyle U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}\ \forall \gamma >0,\gamma \neq 1}
U ( c t ) = log ⁡ c t       se   γ = 1 {\displaystyle U(c_{t})=\log c_{t}\ \ \ {\textrm {se}}\ \gamma =1}

dove c t {\displaystyle c_{t}} indica il livello di consumo al tempo t {\displaystyle t} , U {\displaystyle U} indica il livello di utilità istantanea e γ {\displaystyle \gamma } è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.[1]

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo t {\displaystyle t} è uguale a:

∂ U ∂ c t = c t − γ {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial c_{t}}}=c_{t}^{-\gamma }}

Il saggio marginale di sostituzione intertemporale (SMSI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo t {\displaystyle t} con il consumo al tempo t + n {\displaystyle t+n} , essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

S M S I t , t + n = ( c t + n c t ) γ {\displaystyle SMSI_{t,t+n}=\left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)^{\gamma }}

da cui segue:

σ = d log ⁡ ( c t + n c t ) d log ⁡ S M S I t , t + n = 1 γ {\displaystyle \sigma ={\frac {d\log \left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)}{d\log SMSI_{t,t+n}}}={\frac {1}{\gamma }}}

dove σ {\displaystyle \sigma } è l'elasticità di sostituzione intertemporale, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra t + n {\displaystyle t+n} e t {\displaystyle t} .

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, γ {\displaystyle \gamma } ; può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione relativa al rischio dato dal rapporto (cambiato di segno) tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

R R ( c ) = − c t U ″ ( c t ) U ′ ( c t ) = − c t − γ c t − ( γ + 1 ) c t − γ = γ {\displaystyle R_{R}(c)=-c_{t}{\frac {U''(c_{t})}{U'(c_{t})}}=-c_{t}{\frac {-\gamma c_{t}^{-(\gamma +1)}}{c_{t}^{-\gamma }}}=\gamma }

Note

  1. ^ Specificazione alternativa ed equivalente della funzione di utilità CRRA è la seguente:
    U ( c t ) = c t 1 − γ − 1 1 − γ {\displaystyle U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}} .
    Questa formulazione, mantenendo inalterati elasticità di sostituzione intertemporale e coefficiente relativo di avversione al rischio, permette di evitare la necessità di una diversa forma funzionale nel caso in cui γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} . Infatti, nonostante per γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} la funzione non sia definita, si ha però:
    lim γ → 1 c t 1 − γ − 1 1 − γ = lim γ → 1 − c t 1 − γ log ⁡ c t − 1 = log ⁡ c t {\displaystyle \lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}=\lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {-c_{t}^{1-\gamma }\log c_{t}}{-1}}=\log c_{t}}

Bibliografia

  • Kreps, David (1990) A Course in Microeconomic Theory, New Jersey: Princeton University Press ISBN 0691042640 - (trad. it. (1993) Corso di microeconomia, Bologna: Il Mulino, ISBN 978-88-15-03876-0).
  • Mas-Colell, Andreu, Whinston, Michael, Green, Jerry (1995) Microeconomic Theory, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0195073401.

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