Per ogni s con
la funzione eta di Dirichlet si definisce come[1]:
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b677ab42bbfea4071e7984ce5cdffefead872)
Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni
Correlazione con la funzione zeta di Riemann
Dimostrazione
È possibile dare una semplice giustificazione di questo fatto che non costituisce però una dimostrazione rigorosa.
Poiché la funzione zeta è definita come:
![{\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c8f332052e0b7e91094de2a4d5c25ec3fa0067)
Possiamo dire che:
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eee8597d23f38e2e263b9db921ee2e97853890d)
Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:
![{\displaystyle \eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4db543bbf6e402d8379c7f1483df1b8063e75f)
![{\displaystyle =1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efee5c29d49a3c02dd111773f3aeb961466dc18e)
![{\displaystyle =1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3a8c7fa76a5ba1090fabf5b89ca6a5ef728265)
Se ci aggiungiamo un'altra volta :
avremo che:
![{\displaystyle \eta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)+{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5233969100dbb7b3e4dd9d9ade0910301e47433e)
![{\displaystyle =1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404892e06d458fcac33f9fe536034f92991896d6)
Ossia:
![{\displaystyle \eta (s)+{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72aac961a9fb912cdc93f374f89b564d6f6cef1e)
E dunque:
![{\displaystyle \eta (s)=\zeta (s)-{\frac {1}{2^{s-1}}}\zeta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dba4d3570bc900e413577d949ac58c903741dfc)
QED
Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:
![{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680661b488839174185ecc196b53266ce03fb87a)
Poiché la funzione eta converge per ogni
mentre la funzione zeta solo per
la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.
Relazione di riflessione
Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione
![{\displaystyle \eta (-s)=-(2^{{s \over 2}\ -1}csch({s\ ln(2) \over 2})+1)\pi ^{-s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s+1)\eta (s+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecaaae0f6c395cd8fcb3b94d6c9ec3979a94c49)
Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.
Valori particolari
Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.
Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:
, ossia la serie armonica a segni alterni ![{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0559bd26233f52e4c29a0a93ba6b49ea95d9ff)
![{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e182a4f1ed591a2ca7546bdac69f0f663d2dea0)
![{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1a2f84040d93bb8300734cb4829104e8953662)
![{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07234255b7c5c8d7751daf67015cb222fdc8155)
![{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf5cdf3264c16a72633793e1992b83741fe0d71)
![{\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {56855407305}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf45d2b0059dbea6117cebf7b4c63fafbd650b4c)
Più in generale per ogni valore pari di s:
Dove
sono i numeri di Bernoulli
Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:
Generalizzando per ogni s minore di uno
Note
Bibliografia
- Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
- Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
- Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990 [1922], ISBN 0-486-66165-2.
- John Derbyshire. L'ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica. Torino, Bollati Boringhieri, 2006. ISBN 88-339-1706-1.
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione eta di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.
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