Identità di Picone

In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato

Si supponga che u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

( p 1 ( x ) u ′ ) ′ + q 1 ( x ) u = 0 {\displaystyle (p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0}

e:

( p 2 ( x ) v ′ ) ′ + q 2 ( x ) v = 0 {\displaystyle (p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0}

Allora, per ogni x {\displaystyle x} tale che v ( x ) ≠ 0 {\displaystyle v(x)\neq 0} , vale la seguente identità:

( u v ( p 1 u ′ v − p 2 u v ′ ) ) ′ = ( q 2 − q 1 ) u 2 + ( p 1 − p 2 ) u ′ 2 + p 2 ( u ′ − v ′ u v ) 2 {\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}}

Dimostrazione

Basta svolgere i calcoli:

( u v ( p 1 u ′ v − p 2 u v ′ ) ) ′ = ( u p 1 u ′ − p 2 v ′ u 2 1 v ) ′ = = u ′ p 1 u ′ + u ( p 1 u ′ ) ′ − ( p 2 v ′ ) ′ u 2 1 v − p 2 v ′ 2 u u ′ 1 v + p 2 v ′ u 2 v ′ v 2 = = p 1 u ′ 2 − 2 p 2 u u ′ v ′ v + p 2 u 2 v ′ 2 v 2 + u ( p 1 u ′ ) ′ − ( p 2 v ′ ) ′ u 2 v = = p 1 u ′ 2 − p 2 u ′ 2 + p 2 u ′ 2 − 2 p 2 u ′ u v ′ v + p 2 ( u v ′ v ) 2 − u ( q 1 u ) + ( q 2 v ) u 2 v = = ( p 1 − p 2 ) u ′ 2 + p 2 ( u ′ − v ′ u v ) 2 + ( q 2 − q 1 ) u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'&=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'=\\&=u'p_{1}u'+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}}+p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}=\\&=p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}=\\&=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}}+p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u)+(q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}=\\&=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}\end{aligned}}}

Bibliografia

  • Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
  • (EN) Charles A. Swanson, Picone's Identity, in Rendiconti di Matematica, vol. 8, n. 2, 1975, pp. 373-397.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Ondřej Došlý The Picone identity for a class of partial differential equations (PDF), su dml.cz. URL consultato il gennaio 2016.
  • W. Kratz e A. Peyerimhoff, A Treatment of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems via Picone's Identity in Analysis. Volume 5, Issue 1-2, Pages 97–152 (giugno 1985) (XML), su degruyter.com. URL consultato il gennaio 2016.
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