In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.
L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.
Enunciato
Si supponga che
e
siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:
![{\displaystyle (p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42688ce46acb019e7439543abbcd9ea14d773c9f)
e:
![{\displaystyle (p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848fad0ac8f8ddc91b528c0540bcb1d4d6704c54)
Allora, per ogni
tale che
, vale la seguente identità:
![{\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de161525399ec83fe547348b6ddbcc2aac4382ff)
Dimostrazione
Basta svolgere i calcoli:
Bibliografia
- Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.
- (EN) Charles A. Swanson, Picone's Identity, in Rendiconti di Matematica, vol. 8, n. 2, 1975, pp. 373-397.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- Ondřej Došlý The Picone identity for a class of partial differential equations (PDF), su dml.cz. URL consultato il gennaio 2016.
- W. Kratz e A. Peyerimhoff, A Treatment of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems via Picone's Identity in Analysis. Volume 5, Issue 1-2, Pages 97–152 (giugno 1985) (XML), su degruyter.com. URL consultato il gennaio 2016.
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