Lemma di Itō
In matematica, il lemma di Itō ("Formula di Itō") è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.
Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.
Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.
Enunciato del lemma
Sia un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, soddisfa l'equazione differenziale stocastica:
Sia inoltre una funzione , avente derivata seconda continua. Allora:
- è ancora un processo di Itō;
- Si ha:
Giustificazione informale del risultato
Tramite un'espansione in serie di Taylor di si ottiene:
Sostituendo dalla SDE sopra si ha:
Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in vanno come quelli in ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in . Passando al limite per tendente a 0, i termini scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro tende a ; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:
- se
Sostituendo questi risultati nell'espressione per si ottiene:
come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.
Bibliografia
- (EN) Kiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524. This is the paper with the Ito Formula; Online Archiviato il 3 marzo 2016 in Internet Archive.
- (EN) Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online
- (EN) Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
- (EN) Bernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
- (EN) Domingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.
Voci correlate
- Differenziale (matematica)
- Integrale di Itō
- Processo di Wiener
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