Misura vettoriale

In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

Data un'algebra di insiemi ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ed uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$, una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ si verifica:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

Una misura vettoriale ${\displaystyle \mu }$ è detta numerabilmente additiva se per ogni successione ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ di insiemi disgiunti in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ tale che la loro unione sia in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ si ha:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

dove la serie al membro di destra converge nella norma di ${\displaystyle X}$.

Si può mostrare che una misura vettoriale additiva ${\displaystyle \mu }$ è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ definita come sopra si verifica:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0}$

dove ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è la norma su ${\displaystyle X}$.

Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa ${\displaystyle [0,\infty ]}$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Da una misura vettoriale ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$, la variazione ${\displaystyle |\mu |}$ di ${\displaystyle \mu }$ è definita come:

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

di ${\displaystyle A}$ in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, e la norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è la norma su ${\displaystyle X.}$

La variazione di ${\displaystyle \mu }$ è una funzione finitamente additiva che mappa su ${\displaystyle [0,\infty ]}$. Si ha inoltre:

${\displaystyle ||\mu (A)||\leq |\mu |(A)}$

per ogni ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Se ${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ è finita, la misura ${\displaystyle \mu }$ è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se ${\displaystyle \mu }$ è una misura vettoriale a variazione limitata allora ${\displaystyle \mu }$ è numerabilmente additiva se e solo se ${\displaystyle |\mu |}$ è numerabilmente additiva.

• (EN) Donald L. Cohn, Measure theory, reprint, Boston–Basel–Stuttgart, Birkhäuser Verlag, 1997 [1980], pp. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1., Zbl 0436.28001.
• (EN) Joe Diestel e Jerry J., Jr. Uhl, Vector measures, Mathematical Surveys, vol. 15, Providence, R.I, American Mathematical Society, 1977, pp. xiii+322, ISBN 0-8218-1515-6.
• (EN) Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

• Algebra di insiemi
• Misura (matematica)
• Misura con segno
• Misura complessa

• (EN) D. van Dulst, Vector measure, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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