Momento (probabilità)

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In probabilità, il momento semplice o teorico di origine ${\displaystyle m}$ e ordine ${\displaystyle k}$ di una variabile casuale discreta è definito come il valore atteso della ${\displaystyle k}$-esima potenza dei valori

${\displaystyle \mu _{m,k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{k}p_{i},}$

dove ${\displaystyle p_{i}}$ denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale. Oppure, nel caso di una distribuzione continua,

${\displaystyle \mu _{m,k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-m)^{k}p_{X}(x)dx,}$

dove ${\displaystyle p_{X}(x)}$ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine ${\displaystyle {E}(X)}$ e di ordine ${\displaystyle k}$ come la speranza matematica della ${\displaystyle k}$-esima potenza dello scarto da ${\displaystyle {E}(X)}$ (${\displaystyle \mu }$ = ${\displaystyle \mu _{0,1}}$)

${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{k}p_{i},}$

oppure, nel caso di una variabile casuale continua,

${\displaystyle m_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}p_{X}(x)dx,}$

dove ${\displaystyle \mu }$ denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

• ${\displaystyle \mu _{0}=m_{0}=1}$;
• ${\displaystyle \mu _{1}}$ è il valore atteso, indicata tradizionalmente con ${\displaystyle \mu }$;
• ${\displaystyle m_{1}=0}$;
• ${\displaystyle m_{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}}$ è la varianza, indicata tradizionalmente con ${\displaystyle \sigma ^{2}}$;
• ${\displaystyle m_{3}=\mu _{3}-3\mu _{2}\mu +2\mu ^{3}}$ è l'asimmetria, o skewness;
• ${\displaystyle m_{4}=\mu _{4}-4\mu _{3}\mu +6\mu _{2}\mu ^{2}-3\mu ^{4}}$ è la curtosi.

In generale, la relazione tra il momento centrale ${\displaystyle m_{k}}$ e i momenti semplici ${\displaystyle \mu _{j}}$ è data da:

${\displaystyle m_{k}=\sum _{r=0}^{k}{k \choose r}\mu _{k-r}(-\mu )^{r},}$

dove ${\displaystyle {k \choose r}}$ è il coefficiente binomiale. Per cui è possibile verificare quanto indicato sopra.

• Variabile aleatoria
• Valore atteso
• Varianza
• Simmetria (statistica), o skewness
• Curtosi
• Statistica
• Momenti di un'immagine

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su momento

• (EN) Eric W. Weisstein, Momento, su MathWorld, Wolfram Research.

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