Nucleo (matematica)
In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.
Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come , dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.
Definizione
Omomorfismi
Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è il sottoinsieme di costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di :
In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.
Il nucleo è sempre un sottogruppo di ; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di . Nel caso in cui sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo è un sottospazio vettoriale di (oltre ad esserne un sottogruppo).
Matrici
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Sia una matrice di tipo con elementi in un campo . Il nucleo di è l'insieme dei vettori in tali che:[1]
Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:
e il nucleo di così definito è il nucleo di . In modo equivalente:
Il nucleo di è un sottospazio vettoriale di , la cui dimensione è chiamata la nullità di .
Proprietà
Gruppi
Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:
è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di .
D'altra parte, ogni sottogruppo normale di un gruppo è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:
Iniettività
Sia un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.[2] L'ipotesi di linearità per è essenziale: poiché , l'iniettività di implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di consista del solo elemento neutro 0, allora se:
per la linearità si ha:
e quindi per ipotesi. In altre parole , e la funzione è effettivamente iniettiva.
Teorema del rango
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Sia un'applicazione fra spazi vettoriali . Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di sono collegate tramite la seguente uguaglianza:[3]
La nullità di una matrice può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:
Nell'equazione, è il numero di colonne di , è l'indice di nullità e è il rango di . Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.
Teoria degli insiemi
Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme all'insieme è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in .
Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:
e da:
L'insieme quoziente , detto anche coimmagine di , è naturalmente isomorfo all'immagine di . La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in . Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.
Esempi
Data la matrice:
dove è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad è l'insieme di vettori del tipo:
come si vede facendo il prodotto matriciale tra e il vettore colonna .
Note
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 71.
- ^ Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, p. 71, ISBN 88-339-5035-2, OCLC 797168806. URL consultato l'8 gennaio 2022.
- ^ S. Lang, Pag. 92.
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
Voci correlate
- Conucleo
- Dominio (matematica)
- Funzione iniettiva
- Immagine (matematica)
- Omomorfismo
- Rango di una matrice
- Teorema del rango
- Zero-insieme
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Nucleo, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) M. Hazewinkel, Kernel of a matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)