Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come ${\displaystyle \ker(f)}$, dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è il sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \ker(f):=\left\{x\in X:f(x)=0_{Y}\right\}.}$

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di ${\displaystyle X}$; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di ${\displaystyle X}$. Nel caso in cui ${\displaystyle X}$ sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e ${\displaystyle f}$ sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo ${\displaystyle \ker(f)}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle X}$ (oltre ad esserne un sottogruppo).

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice di tipo ${\displaystyle m\times n}$ con elementi in un campo ${\displaystyle K}$. Il nucleo di ${\displaystyle A}$ è l'insieme dei vettori ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle K^{n}}$ tali che:^[1]

${\displaystyle Av=0.}$

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{A}\colon K^{n}&\to K^{m}\\v&\mapsto Av\end{aligned}}}$

e il nucleo di ${\displaystyle A}$ così definito è il nucleo di ${\displaystyle L_{A}}$. In modo equivalente:

${\displaystyle \ker A:=\{v\in K^{n}:Av=0\}.}$

Il nucleo di ${\displaystyle A}$ è un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle K^{n}}$, la cui dimensione è chiamata la nullità di ${\displaystyle A}$.

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi ${\displaystyle f\colon G\to H}$ è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

${\displaystyle G/_{\ker f}}$

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di ${\displaystyle f}$.

D'altra parte, ogni sottogruppo normale ${\displaystyle N}$ di un gruppo ${\displaystyle G}$ è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

${\displaystyle \pi \colon G\to G/N.}$

Sia ${\displaystyle f}$ un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione ${\displaystyle f}$ è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.^[2] L'ipotesi di linearità per ${\displaystyle f}$ è essenziale: poiché ${\displaystyle f(0)=0}$, l'iniettività di ${\displaystyle f}$ implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di ${\displaystyle f}$ consista del solo elemento neutro 0, allora se:

${\displaystyle f(v)=f(w)}$

per la linearità si ha:

${\displaystyle f(v)-f(w)=f(v-w)=0}$

e quindi ${\displaystyle v-w=0}$ per ipotesi. In altre parole ${\displaystyle v=w}$, e la funzione è effettivamente iniettiva.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del rango.

Sia ${\displaystyle f}$ un'applicazione fra spazi vettoriali ${\displaystyle f\colon V\to W}$. Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di ${\displaystyle f}$ sono collegate tramite la seguente uguaglianza:^[3]

${\displaystyle \dim V=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f.}$

La nullità di una matrice ${\displaystyle A}$ può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

${\displaystyle n=\operatorname {null} (A)+\operatorname {rk} (A).}$

Nell'equazione, ${\displaystyle n}$ è il numero di colonne di ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \operatorname {null} (A)}$ è l'indice di nullità e ${\displaystyle \operatorname {rk} (A)}$ è il rango di ${\displaystyle A}$. Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme ${\displaystyle X}$ all'insieme ${\displaystyle Y}$ è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in ${\displaystyle X}$.

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

${\displaystyle \ker f:=\{(x,x')\in X\times X:f(x)=f(x')\}}$

e da:

${\displaystyle \ker f:=\{\{w\in X:f(x)=f(w)\},x\in X\}.}$

L'insieme quoziente ${\displaystyle X/\ker(f)}$, detto anche coimmagine di ${\displaystyle f}$, è naturalmente isomorfo all'immagine di ${\displaystyle f}$. La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in ${\displaystyle X\times X}$. Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Data la matrice:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\sin(x)&-\cos(x)&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle x}$ è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad ${\displaystyle A}$ è l'insieme di vettori del tipo:

${\displaystyle \ker A={\big \{}{\begin{bmatrix}\lambda \cos(x)&\lambda \sin(x)&0\\\end{bmatrix}}\ |\ \lambda \in \mathbb {R} {\big \}}}$

come si vede facendo il prodotto matriciale tra ${\displaystyle A}$ e il vettore colonna ${\displaystyle v_{\lambda }=(\lambda \cos(x),\lambda \sin(x),0)^{T}}$.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

• Conucleo
• Dominio (matematica)
• Funzione iniettiva
• Immagine (matematica)
• Omomorfismo
• Rango di una matrice
• Teorema del rango
• Zero-insieme

• (EN) Eric W. Weisstein, Nucleo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) M. Hazewinkel, Kernel of a matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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