Numero di Fermat
Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:
con intero non negativo.
Numeri primi di Fermat
Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:
Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:
Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma , risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo , per gli con , dove e sono interi positivi.
Nel caso di , per troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide .
Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.
A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:
- (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
- (Morrison e Brillhart, 1970)
- (Brent e Pollard, 1980)
- (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
- (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
- (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)
dove indica un fattore primo di cifre.[1]
Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che è primo se e solo se
I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con lati se e solo se è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di . Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è
Al momento della dimostrazione, diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.[2]
Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di :
- divide .[1]
Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di :
- [3]
In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.
Proprietà
- I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:
Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se e (con ) avessero un fattore comune , questo dividerebbe sia
che
e quindi dividerebbe 2, ossia , il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.
Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.
- Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di ; questo può essere dimostrato osservando che, essendo sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero , che però è sempre divisibile per 3[4].
- Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze -esime, dove è un primo dispari.
- La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)
Note
4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra, è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per e quindi per ogni con .
- ^ a b Fermat factoring status Archiviato il 10 febbraio 2016 in Internet Archive.
- ^ The Top Twenty: Fermat Divisors
- ^ PrimeGrid Post sul sito di PrimeGrid che annuncia la scoperta
- ^ Per , è pari, e quindi per un intero; passando alla congruenza modulo 3 si ha , e quindi è divisibile per 3.
Voci correlate
- Fermat Search - Progetto di ricerca dei divisori dei Numeri di Fermat per trovare un numero primo più grande.
- Numero primo di Mersenne
- Costruzione di poligoni regolari
- The Prime Pages
Collegamenti esterni
- La pagina di John Cosgrave, su spd.dcu.ie. URL consultato il 3 ottobre 2005 (archiviato dall'url originale il 2 dicembre 2005).
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