Operatore di Hilbert-Schmidt

In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Sia ${\displaystyle {\bigl (}H,(\cdot ,\cdot ){\bigr )}}$ uno spazio di Hilbert complesso, con ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Un operatore limitato ${\displaystyle A\in B(H)}$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se è finita la traccia del modulo quadro,^[1] ovvero se

${\displaystyle {\rm {Tr}}|A|^{2}<\infty \ }$

In modo equivalente, poiché ${\displaystyle |A|^{2}=A^{*}A}$, si può definire la norma di Hilbert–Schmidt come la radice quadrata di

${\displaystyle \|A\|_{2}^{2}={\rm {Tr}}|A|^{2}=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}}$

e dire che ${\displaystyle A}$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se tale norma è finita.^[2] L'insieme ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ è una qualunque base ortonormale di ${\displaystyle H}$, mentre ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è la norma di ${\displaystyle H}$. Inoltre, si verifica che

${\displaystyle \|A\|_{2}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}}$

dove

${\displaystyle A_{i,j}=(e_{i},Ae_{j})}$

La norma di Hilbert-Schmidt è un caso particolare della norma di Schatten p-esima

${\displaystyle \Vert A\Vert _{p}^{p}={\rm {{Tr}|A|^{p}}}}$

In uno spazio euclideo di dimensione finita ${\displaystyle \|\ \|_{2}}$ è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è definito nel seguente modo

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {=} }\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i\in I}(Ae_{i},Be_{i})}$

Tale forma hermitiana induce la norma di Hilbert-Schmidt sopra descritta, e rende la classe degli operatori di Hilbert-Schmidt uno spazio di Hilbert.

• Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano uno *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su ${\displaystyle H}$. Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico al prodotto tensoriale ${\displaystyle H^{*}\otimes H}$, dove ${\displaystyle H^{*}}$ denota lo spazio duale di ${\displaystyle H}$.

• Gli operatori di classe traccia sono operatori di Hilbert-Schmidt.

• Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se

${\displaystyle \sum _{i\in I}|\lambda _{i}|^{2}<\infty }$

dove i numeri ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ sono i valori singolari dell'operatore.

• Gli operatori di rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma ${\displaystyle \|A\|_{HS}}$.

• Due operatori ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono di Hilbert–Schmidt se e solo se ${\displaystyle C=AB}$ è di classe traccia.

• Un operatore ${\displaystyle A}$ è di Hilbert-Schmidt se e solo se ${\displaystyle \{\|Ae_{i}\|\}\in l^{2}}$ per una qualche base ortonormale ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ di ${\displaystyle H}$.
• Sia ${\displaystyle (X,\mu )}$ uno spazio di misura e sia ${\displaystyle H=L^{2}(X,d\mu )}$ lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su ${\displaystyle X}$. Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato ${\displaystyle A}$ definito su ${\displaystyle H}$ sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione

${\displaystyle K\in L^{2}(X\times X,d\mu \otimes d\mu )}$

tale che

${\displaystyle (Af)(x)=\int _{X}K(x,y)f(y)d\mu (y)}$

e si ha inoltre

${\displaystyle \|A\|_{2}^{2}=\int _{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)}$

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

• Operatore (matematica)
• Traccia (matrice)
• Operatore limitato

• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Hilbert-Schmidt operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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