Operatore di inversione temporale
L'operatore di inversione temporale è un operatore utilizzato in meccanica quantistica; modifica lo stato a cui viene applicato dando luogo a un nuovo stato "temporalmente invertito".
Introduzione
L'azione dell'operatore di inversione temporale su un sistema fisico è più propriamente descritta come inversione del moto, anziché come inversione del tempo. Si consideri il moto di una particella soggetta ad un certo potenziale; immaginando, in un certo istante di tempo di bloccare la particella e sostituire la sua quantità di moto con , la particella torna indietro ripercorrendo (nel verso opposto) la stessa traiettoria. In altre parole, se la curva è soluzione dell'equazione del moto (non dissipativa):
allora anche soddisfa l'equazione del moto. rappresenta la soluzione temporalmente invertita.
L'operatore di inversione temporale
Dato uno stato , lo stato temporalmente invertito si ottiene applicando ad l'operatore di inversione temporale, indicato con :
Proprietà
Una proprietà fondamentale dell'operatore di inversione temporale è l'antiunitarietà.
Un operatore antiunitario applicato ad uno stato realizza una trasformazione
che soddisfa le seguenti due proprietà
(la seconda relazione definisce un operatore antilineare)
Un generico operatore antiunitario può essere scritto come prodotto di due operatori
dove è un operatore unitario e coniuga il numero a cui è moltiplicato.
L'azione dell'operatore su uno stato non modifica i ket di base. Infatti uno stato , scritto come combinazione lineare di autostati
si trasforma, sotto l'azione di nel modo seguente:
.
Sistemi simmetrici sotto inversione temporale
Indicando con uno stato al tempo , lo stato corrispondente ad un istante immediatamente successivo si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale (in forma infinitesima):
.
Facendo evolvere allo stesso modo lo stato prima invertito temporalmente si ottiene:
.
Per sistemi simmetrici sotto inversione temporale questo stato deve coincidere con quello che si ottiene facendo prima "evolvere all'indietro" e poi applicando l'operatore di inversione temporale:
,
da cui si ricava:
.
Siccome il ragionamento è valido per ogni ket , si può scrivere
.
L'antiunitarietà di porta alla seguente relazione:
.
In altre parole l'hamiltoniana di un sistema simmetrico sotto inversione temporale commuta con l'operatore :
Bibliografia
- Jun John Sakurai, 4.4, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, pp. 262-277, ISBN 88-08-12706-0.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Nuvola_apps_katomic.svg/25px-Nuvola_apps_katomic.svg.png)