In meccanica quantistica, l'oscillatore armonico quantistico è la trattazione di un sistema caratterizzato da un potenziale armonico. Si tratta di uno dei problemi più importanti nella fisica teorica, dal momento che ogni potenziale può essere approssimato ad un potenziale armonico nell'intorno di un punto di equilibrio.
Indice
1Oscillatore armonico quantistico
2Metodo analitico
2.1Metodo di calcolo dei polinomi di Hermite
2.2Autofunzioni dell'oscillatore armonico
3Metodo algebrico
3.1Teorema 1
3.2Teorema 2
3.3Teorema 3
3.4Operatori di creazione e di distruzione
4Lo stato fondamentale
5Legame tra metodo analitico e metodo algebrico
6Note
7Bibliografia
8Voci correlate
9Altri progetti
10Collegamenti esterni
Oscillatore armonico quantistico
Energia potenziale e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati dell'oscillatore armonico.
Risolvere un sistema in meccanica quantistica significa trovare gli autostati dell'operatore hamiltoniano ed i corrispondenti autovalori dell'energia, ovvero risolvere l'equazione di Schrödinger e trovare la funzione d'onda che descrive il sistema. Non tutte le soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono accettabili: l'energia potenziale non può essere infinita. Questo implica che la distanza tra le particelle che costituiscono l'oscillatore non può essere mai zero o infinita.
Secondo il principio di corrispondenza, come nel caso classico l'hamiltoniana del sistema vale:
Dove abbiamo supposto che il sistema sia unidimensionale.
Nel caso di un sistema tridimensionale, l'hamiltoniana totale si può scindere in somma di tre hamiltoniane indipendenti, una per ogni dimensione.
Esistono due modi per risolvere questo sistema: uno analitico, che si basa sulla soluzione della equazione di Schrödinger ed uno algebrico, che si basa esclusivamente sull'algebra degli operatori ed (vedi commutatore), metodo messo a punto da Paul Adrien Maurice Dirac.
Metodo analitico
L'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico nella rappresentazione delle coordinate è:
che può essere scritta come:
Introduciamo due variabili adimensionali:
Sostituendo nell'equazione di Schrödinger si ha:
Per valori di grandi, tali da poter trascurare , l'andamento asintotico della funzione deve essere del tipo:
Il segno + deve essere scartato in quanto le soluzioni non sarebbero normalizzabili[1], per cui:
Poniamo, quindi:
Dove, sostituendo, si ottiene per , la seguente equazione:
Per avere la soluzione generale, espandiamo in serie di potenze la funzione :
Sostituendo nell'equazione differenziale e raggruppando i termini con potenze uguali si ottiene che:
E affinché questo sia vero tutti i coefficienti devono essere nulli:
Una volta noti ed , da questa equazione si possono ottenere tutti gli altri coefficienti .
In particolare, si ha:
Per cui da un certo punto in poi questa serie si comporta come la serie:
e la funzione d'onda si comporta come:
Come già detto una funzione d'onda di questo tipo non è normalizzabile, per cui l'unico modo per avere soluzioni fisicamente accettabili è che lo sviluppo in serie di sia finito, e che esso sia, in altri termini un polinomio. Affinché questo avvenga deve esistere un intero n, positivo o nullo, tale che:
Sebbene normalizzabili, le funzioni non sono a norma unitaria, mentre in genere gli stati in meccanica quantistica vengono scelti a norma unitaria. Quello che si fa è di inserire una costante moltiplicativa , in generale dipendente dal livello, per assicurare la norma unitaria.
In particolare le funzioni dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati valgono:
In generale, si ha
I valori medi e gli scarti quadratici medi della posizione e della quantità di moto, sugli autostati dell'Hamiltoniano, si ottengono con semplici integrali gaussiani
In accordo col principio d'indeterminazione, troviamo
e la minima indeterminazione si ha per n=0.
Metodo algebrico
Per semplicità, da qui in poi, sebbene sia uso indicare gli operatori con un cappelletto, indicheremo gli operatori senza questo segno di distinzione, poiché non c'è alcun problema di ambiguità.
Si definiscono, prima di tutto, due nuovi operatori adimensionali e , nel modo seguente:
L'hamiltoniana H del sistema si potrà scrivere come:
dove:
Il commutatore tra e tra vale:
Si introducono, poi, altri due operatori ed , definiti nel modo seguente:
Si può introdurre ancora un nuovo operatore, detto operatore numero, così definito:
e l'hamiltoniana diventa, allora:
Adesso abbiamo tutti gli elementi in mano per risolvere il sistema.
Come detto nell'introduzione dobbiamo trovare gli stati del sistema e i valori dell'energia.
Supponiamo che sia uno stato del sistema con energia , si deve, quindi, risolvere l'equazione:[3]
e per fare questo dobbiamo trovare gli autostati dell'operatore :
Per trovare i valori possibili di si devono dimostrare alcune proprietà.
Teorema 1
I valori propri dell'operatore sono positivi o nulli.
L'equazione precedente si può scrivere, esplicitando :
Proiettando sullo stato si ha:
In quanto gli stati di un sistema hanno norma unitaria per definizione.
Ma si ha anche:
Quindi:
Quindi, per definizione della norma di un vettore si ha che ≥0. CVD.
Teorema 2
Se è un autostato di di autovalore , allora è un autostato di di autovalore .
Si ha:
Ma, usando la relazione di commutazione di ed si ottiene che:
Per cui, sostituendo:
CVD.
Teorema 3
Se è autostato di con autovalore , allora è autostato di con autovalore .
Si ha:
CVD.
Con l'aiuto di questi teoremi possiamo trovare gli autovalori di . Supponiamo che l'autovalore sia positivo, non nullo e non intero e sia n la parte intera di .
Lo stato è un autostato con autovalore , lo stato è un autostato con autovalore ,..., lo stato è un autostato con autovalore , numero che è compreso tra 0 ed 1.
Applicando un'altra volta l'operatore si ottiene lo stato , di autovalore , numero che è negativo. Questo va contro il teorema 1, secondo il quale gli autovalori di sono positivi o nulli, quindi il numero deve essere intero (positivo o nullo, per il teorema 1), in modo tale che il vettore sia il vettore nullo e che il vettore non esista.
Poiché a partire da un autostato qualsiasi si può ottenere un qualsiasi altro autostato, tramite opportuna applicazione degli operatori ed , segue che gli autovalori di sono tutti i numeri naturali.
Ma gli autovalori di sono anche quelli di H, per cui le energie degli autostati dell'oscillatore armonico sono quantizzate e valgono:
e gli autostati dell'energia sono gli autostati dell'operatore numero.
Si noti che sebbene l'oscillatore armonico è un sistema oscillante gli autostati dell'operatore numero (e quindi dell'energia) sono stati stazionari, cioè non evolvono nel tempo.
Vediamo adesso come agiscono gli operatori di creazione e di distruzione ed .
Dal teorema 2 sappiamo che lo stato è un autostato di con autovalore , e supponendo che i livelli di energia dell'oscillatore unidimensionale non siano degeneri,[4] si ha che:
La norma di questo vettore vale n,[5] quindi:
e:
In modo assolutamente identico si può mostrare che:
Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac: l'operatore fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia.
Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati di :
Utili relazioni, spesso utilizzate nei problemi, tra gli operatori posizione e impulso con a+ e a si ottengono esprimendo i primi in funzione dei secondi:
con analoghe relazioni per x2 e p2. Queste espressioni degli operatori vengono usate spesso in quanto agiscono in modo semplice sugli autoket dell'energia e permettono di evitare complicati prodotti scalari utilizzando le funzioni d'onda nella base della posizione o dell'impulso.
Lo stato fondamentale
Abbiamo dimostrato che l'energia di uno stato generico vale:
Cominciamo dallo stato fondamentale, usando la relazione:
ovvero:
Esplicitando e rimaneggiando un po' l'espressione:
La soluzione di questa equazione è un esponenziale:
Le funzioni che descrivono gli altri stati si trovano per ricorrenza, tramite applicazione dell'operatore , espresso in termini di e alla funzione dello stato fondamentale .
Come si vede, quindi in entrambi i metodi si trova che l'energia è quantizzata, e che assume dei valori dipendenti dal numero quantico n del livello del sistema.
Le espressioni dell'energia sono identiche in entrambi i casi e le funzioni d'onda che si trovano sono le stesse: i due metodi, quindi, sono completamente equivalenti ed usare l'uno o l'altro per risolvere il sistema dipende dal gusto personale.
Note
^Per norma si intende in questo caso il seguente integrale:
Ovviamente, poiché si ha:
l'integrale non converge, mentre si ha:
e quindi l'integrale della norma converge. Anche intuitivamente è difficile supporre che una particella tenda ad allontanarsi dall'origine quando c'è una forza di richiamo che tende a farla ritornare al punto di partenza.
^ Espressioni del tipo:
vanno intese evidentemente come:
dove è l'operatore identità; Stesso discorso vale per i commutatori, ad esempio, si dovrebbe scrivere:
Tuttavia, per alleggerire la notazione, normalmente, si omette di indicare l'operatore I.
^In pratica si devono trovare gli autostati e gli autovalori dell'operatore H.
^Ciò vuol dire che ad ogni valore di energia corrisponde un solo stato quantistico. Si noti che questo è vero solo nel caso dell'oscillatore in una dimensione, gli stati dell'energia nell'oscillatore a due o a tre dimensioni sono degeneri.