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Nella teoria delle probabilità il paradosso di Borel afferma che è sempre possibile comporre una qualsiasi opera letteraria (ad esempio la Divina Commedia) digitando casualmente le lettere di una tastiera. Da qui deriva anche il nome di paradosso della scimmia in quanto si immagina che una scimmia possa scrivere un testo di senso compiuto digitando casualmente le lettere di una tastiera.
Il paradosso di Borel può essere modellato da una successione di variabili aleatorie che assumono, con una certa probabilità prefissata, i valori zero o uno. Se ipotizziamo che le lettere dell'alfabeto siano rappresentate tramite il sistema binario (ossia sequenze di zero e uno) è possibile scrivere ugualmente una qualsiasi opera letteraria. Il paradosso di Borel afferma che, data una sequenza di bit prefissata, la probabilità che si realizzi è uno e quindi è un evento quasi certo.
L'apparente paradosso viene chiarito calcolando il tempo medio di uscita di una stringa, che oltre ad essere estremamente lungo, cresce in base alla sequenza di caratteri ripetuti all'interno della stringa stessa.
Enunciato
Sia
uno spazio di probabilità. Si può definire una successione
di variabili aleatorie stocasticamente indipendenti e identicamente distribuite tali che per ogni
si ha
![{\displaystyle X_{i}={\begin{cases}1,&{\mbox{con probabilità }}p,\\0,&{\mbox{con probabilità }}1-p,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4450efdd77d99dddae6a405cf96dee576dfe1c4c)
con
. Fissato un vettore di
caratteri
si definisce
l'evento che
, ossia al tempo
la stringa sia stata composta. Si dimostra che
.
Dimostrazione
Per ogni
si può definire una partizione di eventi indipendenti tali che
![{\displaystyle B_{0}=\{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{h}=x_{h}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb755ef040dd3c7f445b39605e32651f7da9c3e)
![{\displaystyle B_{1}=\{X_{h+1}=x_{1},X_{h+2}=x_{2},\ldots ,X_{2h}=x_{h}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153613c06dd6449bca1a46fc747b8c5082983498)
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
![{\displaystyle B_{i}=\{X_{ih+1}=x_{1},X_{ih+2}=x_{2},\ldots ,X_{(i+1)h}=x_{h}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0fa39f2beab8d43874f1a106856060b92ab030)
Allo stesso modo si può definire una successione di variabili aleatorie
indipendenti tali che
![{\displaystyle Y_{0}=[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{h}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444b433e2d73376c8f86357f4aab1a28924a0a7f)
![{\displaystyle Y_{1}=[X_{h+1},X_{h+2},\ldots ,X_{2h}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bd2c1b53c37b96be524e34f0959f1f18c3b1dc)
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
![{\displaystyle Y_{i}=[X_{ih+1},X_{ih+2},\ldots ,X_{(i+1)h}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb24f81e9af2b3f189efe35831e7035f97ba8a6)
è stocasticamente indipendente in quanto lo è anche
e
per ogni
con
Sia
una successione di variabili aleatorie tali che
per ogni
dove
è la funzione indicatrice di
. Dato che i
appartengono a una partizione di eventi indipendenti e gli
possono essere visti come
, ne segue che
è una successione di variabili aleatorie indipendenti.
Osservazione 1
![{\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }B_{i}\subseteq \bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dffa591046e92fe1a8a9b67d28aba9e02ec02b4)
Considerando che l'unione degli eventi
è sottoinsieme dell'unione degli eventi
, se si prova che
, allora anche
Osservazione 2
![{\displaystyle P\{Z_{i}=1\}=P\{B_{i}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926a803b043082af35e3bafe5a1bafc3e4953cea)
Considerando che
e la probabilità di una funzione indicatrice corrisponde alla probabilità dell'evento stesso, si può dire che
. Analogamente
equivale a calcolare la probabilità dell'evento complementare, ossia
.
Osservazione 3
![{\displaystyle P\{Z_{i}=1\}=p^{\sum _{i=1}^{h}x_{i}}(1-p)^{h-\sum _{i=1}^{h}x_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b3098992baca6ccad10e1c474f0501ec99a311)
In base all'osservazione 2 si può dire che
![{\displaystyle P\{Z_{i}=1\}=P\{B_{i}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926a803b043082af35e3bafe5a1bafc3e4953cea)
Dato che tutti i
appartengono ad una partizione, per il criterio di indipendenza stocastica si può dire che
![{\displaystyle P\{B_{i}\}=P\{X_{ih+1}=x1,\ldots ,X_{(i+1)h=x_{h}}\}=P\{X_{ih+1}=x1\}\cdot \ldots \cdot P\{X_{(i+1)h}=x_{h}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec66f56627334c633f39aaaa2b8097c484905d9c)
Applicando l'enunciato si ha che
![{\displaystyle P\{X_{ih+1}=x1\}\cdot \ldots \cdot P\{X_{(i+1)h}=x_{h}\}=p^{\sum _{i=1}^{h}x_{i}}(1-p)^{h-\sum _{i=1}^{h}x_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee109b0ab91725e3331593915b0b5bbbb7b47ca)
Analogamente
Osservazione 4
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P{\begin{Bmatrix}\bigcap _{i=0}^{n}Z_{i}=0\end{Bmatrix}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f7164c1a2c15847daf4d0ffe3540be09148d65)
Per l'indipendenza della successione
si ha che
Per l'osservazione 3 si ha che
Passando al limite si ha che
, per
Infatti, per
fissato,
può essere visto come una costante reale
non dipendente da
. Pertanto
per
Osservazione 5
![{\displaystyle P{\begin{Bmatrix}\bigcap _{i=0}^{\infty }Z_{i}=0\end{Bmatrix}}=1-P{\begin{Bmatrix}\bigcup _{i=0}^{\infty }B_{i}\end{Bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877cdb553848a9743952acf0fc993c9e61a871d4)
Per le osservazioni 2 e 3 si ha che
Portando fuori l'operatore complementare si ha che
Conclusione
Per le osservazioni 4 e 5 si ha che
Per l'osservazione 1 si può concludere e dimostrare la tesi, ossia
Bibliografia
- Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.
- Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.
- Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.
Collegamenti esterni
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