Polinomi di Fibonacci

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In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

${\displaystyle F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\text{se }}n=1,\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\text{se }}n=2,\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\text{se }}n\geq 3.\end{matrix}}\right.}$

I primi polinomi di Fibonacci sono:

${\displaystyle F_{1}(x)=1;}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x;}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1;}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x;}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1;}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x.}$

La formula esplicita per l'${\displaystyle n}$-esimo polinomio di Fibonacci è:

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\binom {n-k-1}{k}}x^{n-2k-1},}$

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

I coefficienti del polinomio ${\displaystyle n}$-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

1. si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
2. si prende il primo elemento della ${\displaystyle n}$-esima riga;
3. si prende il secondo elemento della ${\displaystyle n}$-esima riga (se esiste);
4. da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

• Calcolando i polinomi in ${\displaystyle x=1}$, che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci.
• I polinomi di Fibonacci ${\displaystyle F_{n}(x)}$ e ${\displaystyle F_{m}(x)}$ sono divisibili fra loro se e solo se lo sono ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$.
• Le radici del polinomio ${\displaystyle F_{n}(x)}$ sono date dalla seguente formula:

${\displaystyle 2i\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,n-1.}$

• Il polinomio ${\displaystyle F_{n}(x)}$ è irriducibile sul campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali se e solo se ${\displaystyle n}$ è primo, inoltre, in tal caso, le sue radici si ottengono moltiplicando per ${\displaystyle \pm 2i}$ la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.

• Sequenza polinomiale
• Successione di Fibonacci
• Leonardo Fibonacci

• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomi di Fibonacci, su MathWorld, Wolfram Research.

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