Prodotto libero

In algebra, il prodotto libero di due gruppi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ è un nuovo gruppo, generalmente indicato con

${\displaystyle G*H.}$

Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in ${\displaystyle G}$ e in ${\displaystyle H}$, considerate a meno di semplici operazioni.

La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.

Siano ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ due gruppi. Una parola in ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ è una successione finita di elementi

${\displaystyle s_{1}\ldots s_{n}}$

dove ciascun ${\displaystyle s_{i}}$ è un elemento di ${\displaystyle G}$ o di ${\displaystyle H}$.

Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:

1. rimozione della lettera ${\displaystyle e}$, elemento neutro di ${\displaystyle G}$ o di ${\displaystyle H}$;
2. sostituzione di una coppia di lettere consecutive ${\displaystyle gg'}$ appartenenti allo stesso gruppo ${\displaystyle G}$ o ${\displaystyle H}$ con l'elemento "${\displaystyle gg'}$"
3. l'inversa di una delle due mosse precedenti.

La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.

Il concatenamento di due parole

${\displaystyle s_{1}\ldots s_{n},\quad t_{1}\ldots t_{k}}$

è la parola

${\displaystyle s_{1}\ldots s_{n}t_{1}\ldots t_{k}.}$

Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di ${\displaystyle G}$ oppure ${\displaystyle H}$. L'elemento inverso di una parola

${\displaystyle s_{1}\ldots s_{n}}$

è la parola

${\displaystyle s_{n}^{-1}\ldots s_{1}^{-1}.}$

Se i due gruppi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ sono descritti tramite presentazioni come

${\displaystyle G=\langle R_{G}\mid S_{G}\rangle }$

${\displaystyle H=\langle R_{H}\mid S_{H}\rangle }$

dove ${\displaystyle R_{G}}$ e ${\displaystyle S_{G}}$ sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora

${\displaystyle G*H=\langle R_{G}\cup R_{H}\mid S_{G}\cup S_{H}\rangle .}$^[1]

In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.

I prodotti liberi

${\displaystyle G*H,\quad H*G}$

sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione ${\displaystyle *}$ è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi

${\displaystyle (G*H)*K,\quad G*(H*K)\,\!}$

sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra ${\displaystyle k}$ gruppi

${\displaystyle G_{1}*\cdots *G_{k}.}$

L'operazione ${\displaystyle *}$ ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi

${\displaystyle G*\{e\},\quad G}$

sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per ${\displaystyle *}$: dato un gruppo ${\displaystyle G}$, non è possibile trovare un gruppo ${\displaystyle H}$ per cui ${\displaystyle G*H}$ è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di ${\displaystyle G}$.

Ogni elemento di un prodotto libero ${\displaystyle G*H}$ si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola

${\displaystyle s_{1}\ldots s_{k}}$

in cui valgono le proprietà seguenti:

1. due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
2. nessun ${\displaystyle s_{i}}$ è elemento neutro di ${\displaystyle G}$ o di ${\displaystyle H}$.

Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:

1. se due lettere consecutive ${\displaystyle g_{1}g_{2}}$ appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera ${\displaystyle g}$ definita come l'elemento ${\displaystyle g=g_{1}g_{2}}$;
2. se un ${\displaystyle s_{i}}$ è un elemento neutro, rimuoverlo.

La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.

L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.

Se ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero ${\displaystyle G*H}$ ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle H}$ entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:

${\displaystyle g,gh,ghg,ghgh,ghghg,\ldots }$

Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.

Il gruppo libero di ordine ${\displaystyle k}$ è il gruppo

${\displaystyle \mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$

ottenuto come prodotto libero di ${\displaystyle k}$ copie del gruppo degli interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Il gruppo

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$

può essere descritto come segue. Ciascun gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ha un solo elemento non banale: siano ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:

${\displaystyle e,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba,\ldots }$

Il sottogruppo generato da ${\displaystyle ab}$

${\displaystyle \{(ab)^{n}\}=\{\ldots ,baba,ba,e,ab,abab,ababab,\ldots \}}$

ha indice 2 ed è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata a un'operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, identificando un punto di ${\displaystyle X}$ con uno di ${\displaystyle Y}$. Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo

${\displaystyle X\vee Y.}$

Se gli spazi topologici ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \pi (X\vee Y)=\pi (X)*\pi (Y).}$

Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di ${\displaystyle k}$ circonferenze è il gruppo libero di ordine ${\displaystyle k}$.

Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è

${\displaystyle \pi (\mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2})=\pi (\mathbb {RP} ^{2})*\pi (\mathbb {RP} ^{2})=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2},}$

prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.

• Gruppo libero
• Prodotto diretto
• Prodotto amalgamato