Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Radiante (astronomia).
Disambiguazione – Se stai cercando unità di misura della dose di radiazione assorbita, vedi Rad (unità di misura).
Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.
Indice
1Definizione di radiante
2Utilità della scelta del radiante
3Conversione gradi-radianti
4Bibliografia
5Voci correlate
6Altri progetti
7Collegamenti esterni
Definizione di radiante
Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, quella del raggio della circonferenza, quella della circonferenza e l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:
Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].
Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Essendo la lunghezza della circonferenza pari a e il raggio lungo , l'angolo di un cerchio equivale a .
Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:
si può scrivere la seguente proporzione:
risulta funzione di :
ossia
da cui
Dunque, ponendo , dall'equazione precedente si ottiene:
Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:
Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:
Utilità della scelta del radiante
La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.
Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione
e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste
Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.
Conversione gradi-radianti
Un radiante è pari a gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per :
Ad esempio:
Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:
Ad esempio:
Gradi
Radianti
0
0
15
π /12
30
π /6
45
π /4
60
π /3
90
π /2
120
2/3 π
135
3/4 π
150
5/6 π
Gradi
Radianti
180
π
210
7/6 π
225
5/4 π
240
4/3 π
270
3/2 π
300
5/3 π
315
7/4 π
330
11/6 π
360
2π
Si ha quindi:
1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;
1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;
1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;
1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.
Bibliografia
G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6
Voci correlate
Grado d'arco
Grado centesimale
Angolo
Pi greco
Steradiante
millesimo di radiante
Altri progetti
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Collegamenti esterni
(EN) radiant / radian, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Radiante, su MathWorld, Wolfram Research.