In fisica matematica, la scomposizione di Gordon (dal nome di Walter Gordon) della corrente di Dirac è una scissione della corrente di carica o numero di particelle in una parte che deriva dal moto del centro di massa delle particelle e una parte che deriva dai gradienti della densità di spin.[1] Fa un uso esplicito dell'equazione di Dirac e quindi si applica solo alle soluzioni "on-shell" dell'equazione di Dirac.
Tecnica originale
Enunciato
Per qualsiasi soluzione
dell'equazione di Dirac massiva,
![{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fab99f10a0a3372dd46edfa3a562386afcebcfb)
la corrente Lorentz-covariante
può essere espressa come
![{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu }({\bar {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44bd33df73dc84680a653d9b43940b954e8687e3)
dove
![{\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63135dc1f1ce0f6b128874cfa5c0ef8c045aa92f)
è il generatore spinoriale delle trasformazioni di Lorentz.
La corrispondente versione nello spazio degli impulsi per soluzioni di onde piane
e
che obbedisce
![{\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4fb32dc6de89f0f45383f2d2e058ca32854ec4)
![{\displaystyle {\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3caba650e524e28b50d96e73592fce0f64724e8)
è
![{\displaystyle {\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\left[{\frac {(p+p')^{\mu }}{2m}}+i\sigma ^{\mu \nu }{\frac {(p'-p)_{\nu }}{2m}}\right]u(p)~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a628617f1ecfb33300eddb708f1e0b3ac894aec2)
dove
![{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6820f1578a6fda49490e0d5b950b4ec734cc9118)
Dimostrazione
Dall'equazione di Dirac segue che
![{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(m\psi )={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(i\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c95f6b216b6282c892368f28206f862831ace42)
e, dal coniugato dell'equazione di Dirac,
![{\displaystyle ({\bar {\psi }}m)\gamma ^{\mu }\psi =((\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(-i\gamma ^{\nu }))\gamma ^{\mu }\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ce5a6822ce6b07289756f96cc814a4ac76c618)
Sommando queste due equazioni si ottiene
![{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b6ef9d023fe78ed5088bd7a95a2ca07b542445)
Dall'algebra di Dirac, si può dimostrare che le matrici di Dirac soddisfano
![{\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu }=\eta ^{\nu \mu }+i\sigma ^{\nu \mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74afdebdb28ee34fac1d110b6d1ea20c7810e5e9)
Usando questa relazione,
![{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}(\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu })\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(\eta ^{\mu \nu }+i\sigma ^{\mu \nu })\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27546a20409b743d429f426e64f7636cb156eb6d)
che equivale proprio alla decomposizione di Gordon, dopo un po' di calcoli.
Utilità
La seconda parte della, dipendente dallo spin, parte della corrente accoppiata al campo di fotoni,
cede, a meno di una divergenza totale trascurabile,
![{\displaystyle -{\frac {e\hbar }{2mc}}\partial _{\nu }A_{\mu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\nu \mu }\psi =-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a037d59442882d2753f1db83fba03c68a3bae49)
cioè, un termine efficace di momento di Pauli,
.
Generalizzazione alle particelle senza massa
Questa scomposizione della corrente in un flusso di numero di particelle (primo termine) e contributo di spin legato (secondo termine) richiede
.
Se si assume che la soluzione data abbia energia
così che
, si potrebbe ottenere una scomposizione valida sia per i casi massivi che per quelli senza massa.[2]
Usando ancora l'equazione di Dirac, si trova che
![{\displaystyle {\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19b07d0e367b825ee8156fbd311d37be7fb24ac)
dove
, e
con
così che
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fcd582263a2f61e4e77bc0f883b9ec7af4a03e)
dove
è il vettore delle matrici di Pauli.
Con la densità del numero di particelle identificata con
, e per una soluzione in onda quasi piana di estensione finita, si può interpretare il primo termine nella scomposizione come l'attuale
, a causa delle particelle che si muovono a velocità
.
Il secondo termine,
è la corrente dovuta ai gradienti nella densità di momento magnetico intrinseca. Il momento magnetico stesso si trova integrando per parti per mostrare che
![{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d980d48b225adb20e676aa91b659e1921675e3)
Per una singola particella massiccia nel suo sistema di riferimento di riposo, dove
, il momento magnetico si riduce a
![{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b64c9d1f368b839eafa74e203ffc966b256b7c)
dove
e
è il valore di Dirac del rapporto giromagnetico.
Per una singola particella priva di massa che obbedisce all'equazione di Weyl destrorsa, lo spin-1/2 è fissato nella direzione
del suo momento cinetico e il momento magnetico diventa[3]
![{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352361c968af847ac7b2e59be655dc553005ddc3)
Densità di momento angolare
Sia per il caso massivo sia per quello senza massa, si ha anche un'espressione per la densità di momento come parte del tensore simmetrico di Belinfante-Rosenfeld stress-energia
![{\displaystyle T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb03cd967f1743c60f65f988e55fbdc83cb305ad)
Usando l'equazione di Dirac si può valutare
per trovare la densità di energia per essere
, e la densità di quantità di moto,
![{\displaystyle {\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da5bc0c406eb0f73c0d352bfdc648d2514296fb)
Se si usa il tensore canonico energia-impulso non simmetrico
![{\displaystyle T_{\rm {canonico}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635e5711c0280e27da6a0d4f0ef14698974593e1)
non si troverebbe il contributo spin-momento legato.
Mediante un'integrazione per parti si trova che il contributo di spin al momento angolare totale è
![{\displaystyle \int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35430b25eaa1c2e43598a6390aab89f4e7a2ce56)
Questo è ciò che ci si aspetta, quindi è necessaria la divisione per 2 nel contributo di spin alla densità di momento. L'assenza di una divisione per 2 nella formula per la corrente riflette il
rapporto giromagnetico dell'elettrone. In altre parole, un gradiente di densità di spin è due volte più efficace nel creare una corrente elettrica quanto nel contribuire alla quantità di moto lineare.
Spin nelle equazioni di Maxwell
Motivato dalla forma vettoriale di Riemann-Silberstein delle equazioni di Maxwell, il fisico Michael Berry usa la strategia di Gordon per ottenere espressioni gauge-invarianti per la densità di momento angolare di spin intrinseco per le soluzioni delle equazioni di Maxwell.[4]
Assume che le soluzioni siano monocromatiche e usa le espressioni del fasore
,
. La media temporale della densità di moto del vettore di Poynting è quindi data da
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}[{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {H} }+{\mathbf {E} }\times {\mathbf {H} }^{*}]\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {E} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {E} })-(\nabla {\mathbf {E} }^{*})\cdot {\mathbf {E} }+\nabla \times ({\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} })]\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })-(\nabla {\mathbf {H} }^{*})\cdot {\mathbf {H} }+\nabla \times ({\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} })].\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713cab8dc98e5b9a07d26905ddcb07200fd68c7c)
dove nel passaggio dalla prima alla seconda e terza riga si sono usate le equazioni di Maxwell, e in espressioni come
il prodotto scalare è tra i campi in modo che il carattere vettoriale sia determinato da
.
Siccome
![{\displaystyle \mathbf {P} _{\rm {tot}}=\mathbf {P} _{\rm {libera}}+\mathbf {P} _{\rm {legata}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d37288d6351bd954891b076edcd4553a7aa4fa)
e per un fluido con densità di momento angolare intrinseca
noi abbiamo
![{\displaystyle \mathbf {P} _{\rm {legata}}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e466b534af457bb3e0ec55138162e5a0e5dd5679)
queste identità suggeriscono che la densità di spin può essere identificata come
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}\mathbf {H} ^{*}\times \mathbf {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a0462ad3b10350cb092faf11958c7de430abb5)
o come
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e4491cf6109d87794b630131bc05854214603d)
Le due decomposizioni coincidono quando il campo è parassiale. Essi coincidono anche quando il campo è uno stato di elicità puro, cioè quando
dove l'elicità
prende i valori
per la luce che è rispettivamente polarizzata circolarmente verso destra o verso sinistra. In altri casi possono differire.
Note
- ^ W. Gordon, Der Strom der Diracschen Elektronentheorie, in Z. Phys., vol. 50, 1928, pp. 630–632, Bibcode:1928ZPhy...50..630G, DOI:10.1007/BF01327881.
- ^ M.Stone, Berry phase and anomalous velocity of Weyl fermions and Maxwell photons, in International Journal of Modern Physics B, vol. 30, 2015, p. 1550249, DOI:10.1142/S0217979215502495, arXiv:1507.01807.
- ^ D.T.Son, N.Yamamoto, Kinetic theory with Berry curvature from quantum field theories, in Physical Review D, vol. 87, 2013, p. 085016, Bibcode:2013PhRvD..87h5016S, DOI:10.1103/PhysRevD.87.085016, arXiv:1210.8158.
- ^ M.V. Berry, Optical currents, in J. Opt. A, vol. 11, 2009, p. 094001 (12 pages), Bibcode:2009JOptA..11i4001B, DOI:10.1088/1464-4258/11/9/094001.
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