Teorema di Bendixson-Dulac

In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

Se esiste una funzione ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ tale che:

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}}$

abbia lo stesso segno (${\displaystyle \neq 0}$) quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(x,y)}$

non ha soluzioni periodiche.

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ tale che:

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0}$

in un dominio semplicemente connesso di ${\displaystyle R}$. Si supponga che esiste una soluzione ${\displaystyle C}$ del sistema in ${\displaystyle R}$ che è una curva chiusa, e sia ${\displaystyle D}$ la regione delimitata da ${\displaystyle C}$. Per il teorema di Green:

${\displaystyle \iint _{D}^{}{\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}^{}{-\varphi gdx+\varphi fdy}=\oint _{C}^{}{\varphi \left(-{\dot {y}}dx+{\dot {x}}dy\right)}}$

Dal momento che lungo ${\displaystyle C}$ si ha ${\displaystyle dx={\dot {x}}dt}$ e ${\displaystyle dy={\dot {y}}dt}$, l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa ${\displaystyle C}$.

• (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
• (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
• (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

• Sistema autonomo (matematica)
• Spazio semplicemente connesso
• Teorema di Green
• Teorema di Poincaré-Bendixson

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