Teorema di Borel-Carathéodory

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Borel-Carathéodory è un'applicazione del teorema del massimo modulo che mostra che una funzione olomorfa può essere limitata dalla sua parte reale.

Il nome dell'enunciato è dovuto a Émile Borel e Constantin Carathéodory.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione olomorfa su un cerchio di raggio ${\displaystyle R}$ centrato nell'origine. Dato ${\displaystyle r<R}$, vale la disuguaglianza:

${\displaystyle \|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} (f(z))+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|}$

dove la norma al membro di destra è il massimo valore assunto da ${\displaystyle f}$ nel disco chiuso:

${\displaystyle \|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}|f(z)|=\max _{|z|=r}|f(z)|}$

L'ultima uguaglianza è dovuta al teorema del massimo modulo.

Sia ${\displaystyle A}$ un numero definito come:

${\displaystyle A=\sup _{|z|\leq R}\operatorname {Re} (f(z)),}$

e si ponga ${\displaystyle f(0)=0}$. Dal momento che ${\displaystyle \operatorname {Re} (f)}$ è una funzione armonica si può considerare ${\displaystyle A>0}$. Si ha che ${\displaystyle f}$ mappa nel semipiano complesso ${\displaystyle P}$ alla sinistra della retta ${\displaystyle x=A}$. In pratica, si vuole mappare tale semipiano in un disco, dove si applica il lemma di Schwarz: se la funzione ${\displaystyle w\mapsto w/A-1}$ mappa ${\displaystyle P}$ nel semipiano a sinistra dell'origine, la funzione ${\displaystyle w\mapsto R(w+1)/(w-1)}$ manda il semipiano a sinistra dell'origine nel cerchio di raggio ${\displaystyle R}$ centrato nell'origine. La composizione delle due mappe:

${\displaystyle w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}}$

manda ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle 0}$, ed è dunque la funzione cercata. Applicando il lemma di Schwarz a tale funzione e ${\displaystyle f}$ si ottiene:

${\displaystyle {\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|.}$

Prendendo ${\displaystyle |z|\leq r}$ la precedente equazione diventa:

${\displaystyle R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar}$

in modo che:

${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}}$

come si voleva mostrare.

Nel caso generale, si può semplicemente applicare il ragionamento alla funzione ${\displaystyle f(z)-f(0)}$:

${\displaystyle |f(z)|-|f(0)|\leq |f(z)-f(0)|\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} (f(w)-f(0))\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}\operatorname {Re} (f(w))+|f(0)|\right)}$

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.

• Funzione analitica
• Funzione limitata
• Teorema del massimo modulo

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