Teorema di Casorati-Weierstrass
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Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Weierstraß e Felice Casorati.
Premesse
Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z0, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z0}. Il numero complesso z0 prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite
esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in z0 = 0, mentre la funzione g(z) = 1/z3 no (ha infatti un polo in 0 di ordine 3).
Condizione necessaria e sufficiente perché un punto z0 sia una singolarità essenziale isolata per f è che
e
Enunciato
- Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z0, allora per ogni intorno V di z0 contenuto nel campo di olomorfia U di f, f(V − {z0}) è denso in C.
O, equivalentemente:
- Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di z0. Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti z ∈ I tale che |f(z) - w| < ε.
Prima dimostrazione
Sia w un numero complesso arbitrario. Se z0 è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione . Si avrà quindi:
e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.
Seconda dimostrazione
Forniamo una seconda dimostrazione in cui non si fa uso della proprietà con il limite inferiore. La dimostrazione procede per assurdo.[1]
Supponiamo per assurdo che tali che . Allora
e ciò implica che la funzione ha un polo in Sia il suo ordine. Dunque
e per la disuguaglianza triangolare
si ha che
Ma come visto nelle premesse, questo è assurdo, poiché la funzione ha una singolarità essenziale in e tale limite non dovrebbe esistere.
Sviluppi
Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in
Note
- ^ (EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, collana Graduate Texts in Mathematics, Second Edition, New York, Springer-Verlag, 1978 [1973], p. 109.
Bibliografia
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Second Edition, p.109, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1978.
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