Teorema di densità di Lebesgue

In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile $A$ la densità di $A$ è pari 1 in quasi ogni punto di $A$ , dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra $A$ e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero.

Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue.

Il teorema

Sia $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb {R} ^{n}$ e sia $A$ un insieme Lebesgue-misurabile contenuto in $\mathbb {R} ^{n}$ . La "densità approssimata" di $A$ in una palla $B_{\varepsilon }$ di raggio $\varepsilon$ centrata in $x\in \mathbb {R} ^{n}$ è definita come:

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}

Il teorema di densità di Lebesgue afferma che per quasi ogni punto $x\in A$ la densità, definita come:

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

esiste e vale 1.

La densità di ogni $A$ misurabile può essere quindi 0 oppure 1 quasi ovunque in $\mathbb {R} ^{n}$ . Se si verifica che $\mu (A)>0$ e $\mu (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0$ , inoltre, allora è certa l'esistenza di punti in $\mathbb {R} ^{n}$ dove la densità non è né 0 né 1. Ad esempio, se si considera un quadrato in un piano, la densità al suo interno è 1, sul bordo 1/2 e negli angoli 1/4. L'insieme dei punti nel piano in cui la densità non è né 0 né 1 non è vuoto (i bordi del quadrato), ma costituisce un insieme di misura nulla.

Bibliografia

(EN) Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability, 1999, ISBN 978-0-521-65595-8.
(EN) Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.
(EN) Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis:Measure theory,Lebesgue integration, and Hilbert Spaces, Princeton, Princeton University Press, 2005.