Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck

La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck (TG) è una teoria assiomatica degli insiemi così chiamata in riferimento ai matematici Alfred Tarski e Alexander Grothendieck. Essa è caratterizzata dall'Assioma di Tarski ed è un'estensione non-conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.

I primi assiomi di TG sono uguali alle loro controparti di ZF:

• I quantificatori logici spaziano solo su insiemi; Qualsiasi cosa è un insieme (la stessa ontologia di ZFC).
• Assioma di estensionalità: Due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi.
• Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme di cui nessun altro insieme è elemento.
• Assioma di regolarità: Nessun insieme è elemento di se stesso e catene circolari di appartenenza non sono possibili.
• Assioma di rimpiazzamento: L'immagine di una funzione è un insieme.

Come già detto l'assioma caratterizzante della teoria è il seguente: Assioma di Tarski (adattato da Tarski 1939^[1]): Per ogni insieme ${\displaystyle x}$ esiste un insieme ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ tale che

1. ${\displaystyle x\in {\mathcal {U}}}$.
2. Per ogni ${\displaystyle y\in {\mathcal {U}}}$ ogni sottoinsieme di ${\displaystyle y}$ è un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.
3. Per ogni ${\displaystyle y\in {\mathcal {U}}}$ l'insieme della parti di ${\displaystyle y}$ è un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.
4. Ogni sottoinsieme di ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ la cui cardinalità è inferiore di quella di ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ è un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

Quest'ultimo implica l'assioma della coppia, l'assioma dell'insieme potenza, l'assioma dell'unione, assioma dell'infinito e l'assioma della scelta^[2][3]; dunque rende TG molto più forte di ZFC.

• Blass, Andreas, Dimitriou, I. M., and Löwe, Benedikt (2007) "Inaccessible Cardinals without the Axiom of Choice," Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
• (FR) Nicolas Bourbaki, Univers, in Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (a cura di), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269), Berlin; New York, Springer-Verlag, 1972, pp. 185–217. URL consultato il 24 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 26 agosto 2003).
• Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
• Alfred Tarski, Über unerreichbare Kardinalzahlen (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 30, 1938, pp. 68–89.
• Alfred Tarski, On the well-ordered subsets of any set (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 32, 1939, pp. 176–183.

• Trybulec, Andrzej, 1989, "Tarski–Grothendieck Set Theory", Journal of Formalized Mathematics.
• Metamath: "Proof Explorer Home Page." Scroll down to "Grothendieck's Axiom."
• PlanetMath: "Tarski's Axiom"