Universo di Grothendieck
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In matematica, in particolare in teoria assiomatica degli insiemi, un universo di Grothendieck è un insieme U tale che:
- Se x è un elemento di U e y è un elemento di x allora anche y è un elemento di U.
- Se x e y sono elementi di U allora {x,y} è un elemento di U.
- Se x è un elemento di U, allora P(x), l'insieme delle parti di x, è un elemento di U.
- Se x è un elemento di U allora l'unione è un elemento di U.
Un universo di Grothendieck è un insieme in cui tutte le operazioni insiemistiche possono essere eseguite (Infatti un universo di Grothendieck non numerabile fornisce un modello di teoria degli insiemi con la naturale relazione di appartenenza ∈). Per esempio, proviamo la seguente proposizione:
- Proposizione 1.
- Se e allora .
- Dimostrazione.
- poiché . poiché , quindi .
In maniera simile si prova che ogni universo di Grothendieck U contiene:
- Tutti i singoletti di ognuno dei suoi elementi,
- Tutti i prodotti di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
- Tutte le unioni disgiunte di famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
- Tutte le intersezioni di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
- Tutte le funzioni tra due elementi di U, e
- Tutti i sottoinsiemi di U la cui cardinalità è un elemento di U.
L'idea degli universi è dovuta ad Alexander Grothendieck, che la usò come metodo per evitare le classi in geometria algebrica.
Bibliografia
- Nicolas Bourbaki, Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, Univers, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269), Berlino, Springer-Verlag, 1972, pp. 185-217. URL consultato il 24 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 9 agosto 2016).