ドッティ数

ドッティ数（英: Dottie number）とは、次の方程式を満たす唯一の実数解（x ≈ 0.739085...[1]）のことである。

cos ⁡ x = x {\displaystyle \cos x=x}

この数はリンデマンの定理より超越数である[2]。関数 f(x) = cos x − x は無限個の複素数根を持つが、うち吸引的不動点となるのはドッティ数に限る。

ラグランジュ反転公式（英語版）により関数 f(x) = cos x − x の無限級数表示

f ( x ) = π 2 + ∑ n o d d a n π n {\displaystyle f(x)={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}

が得られる。ここで an は奇数 n について次のように定められる有理数である[3][4][5]。

a n = 1 n ! 2 n lim m → π 2 ∂ n − 1 ∂ m n − 1 ( cos ⁡ m m − π / 2 − 1 ) − n = − 1 4 , − 1 768 , − 1 61440 , − 43 165150720 , … {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}

この定数の名前は、フランスの "Dottie" という名前の教授が計算機のコサインのボタンを何回も押している内にこの数を発見したことに由来する[3]。計算機の角度の単位がラジアンではなく度数法に設定されている場合、ドッティ数ではなく 0.999847... へと収束する[6]。

閉じた形

ドッティ数 D は正則化不完全ベータ関数を用いた次の表示を持つ。

D = 1 − ( 2 I 1 2 − 1 ( 1 2 , 3 2 ) − 1 ) 2 {\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2{\text{I}}_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}}}

積分表示

  • D = 1 − ( 1 − ( ∫ − ∞ ∞ 16 ( z − sinh ⁡ ( z ) ) 2 + 12 π 2 ( 4 ( z − sinh ⁡ ( z ) ) 2 + 3 π 2 ) 2 + 16 π 2 ( z − sinh ⁡ ( z ) ) 2 d z ) − 1 ) 2 {\displaystyle D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {16(z-\sinh(z))^{2}+12\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}} .[1]
  • D = π 2 − 1 2 π ∫ 0 ∞ ln ⁡ ( 2 π cosh ⁡ ( x ) + π 2 x 2 + cosh 2 ⁡ ( x ) + 1 ) d x {\displaystyle D={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {2\pi \cosh(x)+\pi ^{2}}{x^{2}+\cosh ^{2}(x)}}+1\right)\,dx}

参考文献

  1. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A003957". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2023年7月2日閲覧。
  2. ^ Eric W. Weisstein. “Dottie Number”. 2023年7月2日閲覧。
  3. ^ a b Kaplan, Samuel R (February 2007). “The Dottie Number”. Mathematics Magazine 80: 73. doi:10.1080/0025570X.2007.11953455. https://www.maa.org/sites/default/files/Kaplan2007-131105.pdf 29 November 2017閲覧。. 
  4. ^ “OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number.”. oeis.org. 2019年5月26日閲覧。
  5. ^ “A306254 - OEIS”. oeis.org. 2019年7月22日閲覧。
  6. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A330119". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2023年7月2日閲覧。

外部リンク

  • Miller, T. H. (Feb 1890). “On the numerical values of the roots of the equation cosx = x”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 9: 80–83. doi:10.1017/S0013091500030868. 
  • Salov, Valerii (2012年). “Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine” 
  • Azarian, Mohammad K. (2008). “ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS”. International Journal of Pure and Applied Mathematics. https://ijpam.eu/contents/2008-46-1/3/3.pdf.