誤差項 E は となる ξ ∈ (a, b) が存在することを意味する。 また、f の導関数の次数は、それ未満の次数の多項式が正確に積分できる(即ち、誤差が 0 になる)ことを示している。なお、(b − a) の次数と f の導関数の階数は、1 つおきに 2 ずつ増加することに注意。
重みの計算
ニュートン・コーツの公式の重みは線形方程式系の解として求めることもできる。 これは補間多項式の一意性より f (x) が n 次以下の多項式の場合 L(x) = f (x) となることに基づく。係数行列はファンデルモンド行列である。
高次における不安定性
ニュートン・コーツの公式は、任意の次数で構築できる。しかし大きな次数 n においてはルンゲ現象により誤差が n の増加するにつれて指数関数的に大きくなる。そのため、通常は大きな次数ではガウス求積やクレンショー・カーチス求積(英語版)などの非等分点法の方が、安定してより正確な値を求められる。もしもそれらの方法を使えないならば、合成積分公式を使うことでルンゲ現象を避けることができる。高次の公式には積分の重みの中に負のものが含まれるなどの不自然さが伴う(Gaussの積分公式の重みは常に正である)。
Forsythe, George E.; Malcolm, Michael A.; Moler, Cleve B. (1977). “Section 5.1”. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), “Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=156
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (1980). “Section 3.1”. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag
外部リンク
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Newton–Cotes quadrature formula”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Newton–Cotes_quadrature_formula
Newton–Cotes formulae on www.math-linux.com
Newton–Cotes Formulae
Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulae". mathworld.wolfram.com (英語).
Module for Newton–Cotes Integration, fullerton.edu