パリー点

幾何学において、パリー点 (ぱりーてん、Parry point)とは三角形の中心の一つである。 クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(111)として登録されている。パリー点及びパリー円は1990年代初期のイギリス幾何学者シリル・パリーの研究を賞して名づけられた^[1]。

△ABCについてその重心と二つの等力点を通る円をパリー円と言う。パリー円は重心座標[x,y,z]で以下の式で表される^[2]。$${\displaystyle 3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})(a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})x\right)=0}$$パリー円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(351)として表される。X(351)は三線座標で以下の様に表される。$${\displaystyle a(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2}):b(c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-2b^{2}):c(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-2c^{2})}$$

△ABCのパリー円は外接円と2点で交わる。うち一つはキーペルト放物線の焦点である^[2]。 もう一つを△ABCのパリー点という。

パリー点の三線座標は以下の様に表される。$${\displaystyle {\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}}$$キーペルト放物線の焦点X(110)の三線座標は以下の様に表される。$${\displaystyle {\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}}$$

シリル・パリーに関する点の一つにパリー鏡映点（Parry Reflection Point）がある^[3]。A,B,Cを通り、オイラー線に平行な直線をそれぞれBC,CA,ABで鏡映した直線は一点で交わる。この点をパリー鏡映点X(399)と言う。

• パリー鏡映点はノイベルグ三次曲線、フェルマー軸上にある。
• 第一等力点Jのcirclecevian triangle（AJ,BJ,CJと円JBC,JCA,JABのJでない方の交点が成す三角形^[4]）と、第二等力点のcirclecevian triangleの配景の中心はパリー鏡映点である^[5]。
• 第一フェルマー点、第二等力点、パリー鏡映点、第二ヴェルナウ点は共円である。同様に、第ニフェルマー点、第一等力点、パリー鏡映点、第一ヴェルナウ点は共円である。
• 三角形の鏡映三角形（Reflection triangle,頂点を対辺で鏡映した三角形^[6]）を△A'B'C'、内心と傍心をそれぞれI,I_a,I_b,I_cとすると、円IA'I_a,IB'I_b,IC'I_c,A'I_bI_c,B'I_cI_a,C'I_aI_bはパリー鏡映点を通る^[7]。
• 三線座標は、

${\displaystyle f(A,B,C)=5\cos A-4\cos B\cos C-8\sin B\sin C\cos ^{2}A}$

として、

${\displaystyle f(A,B,C):f(B,C,A):f(C,A,B)}$

で表される。

• レスター円
• 三角形の中心