ヒルベルトの定理90
数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。
ステートメント
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。
加法版
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。
群コホモロジーを用いた表現
K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき
が成り立つ。
例
K/k を2次拡大 とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
K の元 はノルム を持つ。 ノルムが1の元は の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。
これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円上の有理数点はを満たすピタゴラス数を表す。
関連項目
参考文献
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/38px-Wikisource-logo.svg.png)
ウィキソースにDavid Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 7. Kapitel, Satz 90の原文があります。
- Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4
- 桂利行『代数学III 体とガロア理論』東京大学出版会〈大学数学の入門3〉、2005年。ISBN 978-4-13-062953-9。
- 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010年。ISBN 978-4-535-78660-8。
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