フールマン円

{\displaystyle N} — フールマン円とフールマン三角形（赤色）。 $N$ および $H$ はそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径を $r$ とするとき、 $|AP_{a}|=|BP_{b}|=|CP_{c}|=2r$ が成り立つ。

ユークリッド幾何学において、フールマン円（ふーるまんえん、英語: Fuhrmann circle）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$ と垂心 $H$ を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある^[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている^[2]。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_{F}$ は

${\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である^[3]。

一般化

△ABCについて、その辺上にない点Pの擬調和三角形を△A'B'C' とする。また、A',B',C'をそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をP_a,P_b,P_cとする。△P_aP_bP_c（Pフールマン三角形）の外接円をPのヘギー円（P-Hagge circle）またはPのフールマン円（P-Fuhrmann circle）と言う^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]。名称はカール・ヘギーに由来する^[10]。Pが内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす^[11]。

ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem^[12]）。
Pの等角共役点P*とPのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
ヘギー円の半径はP*と外心の距離に等しい。
垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、P*は共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している^[12]。

注釈

^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
^ “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。
^ “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。
^ “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。
^ Christopher J. Bradley ,Geoff C. Smith. “On a Construction of Hagge”. Forum Geometricorum. 2024年4月1日閲覧。
^ “The Four Hagge Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ “Omega Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ Bradley, C. J.; Smith, G. C.; Bradley, Christopher; Smith, Geoff (2007). “Hagge Circles and Isogonal Conjugation”. The Mathematical Gazette 91 (521): 202–207. ISSN 0025-5572. https://www.jstor.org/stable/40378342.
^ Peiser, A. M. (1942-10). “The Hagge Circle of a Triangle” (英語). The American Mathematical Monthly 49 (8): 524–527. doi:10.1080/00029890.1942.11991276. ISSN 0002-9890. https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1942.11991276.
^ Zoltan Szilasi. “Hagge configurations and a projective generalization of inversion”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ Christopher J Bradley. “The Story of Hagge and Speckman”. バース大学. 2024年4月1日閲覧。
^ ^a ^b “Generalizations of Hagge’s Theorems”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。