ヘヴィサイドの展開定理

ヘヴィサイドの展開定理（ヘヴィサイドのてんかいていり、英: Heaviside's expansion theorem[1]）は、ある種の関数のラプラス逆変換を与える定理である。オリヴァー・ヘヴィサイドはイギリスの電気技師。有理関数に関するもののみを指す場合が多いが、より一般の有理型関数に対する主張へ拡張される[2]。以下では、有理関数のみ扱うものとする。

概要

P(s), Q(s) は共通因子を持たない実数係数多項式で、次数は P の方が小さいとし、有理関数 F(s) = P(s) / Q(s) のラプラス変換による原像を求めたいものとする。代数学の基本定理より、分母 Q(s) は複素数の範囲で一次式の積に分解できて

F ( s ) = P ( s ) ( s − a 1 ) n 1 ⋯ ( s − a r ) n r {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{(s-a_{1})^{n_{1}}\cdots (s-a_{r})^{n_{r}}}}}

となる。これを部分分数分解すれば

F ( s ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 n i A i j ( s − a i ) j {\displaystyle F(s)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {A_{ij}}{(s-a_{i})^{j}}}}

の形になる。ここに、各係数は

A i j = 1 ( n i − j ) ! lim s → a i d n i − j d s n i − j ( ( s − a i ) n i F ( s ) ) {\displaystyle A_{ij}={\frac {1}{(n_{i}-j)!}}\lim _{s\to a_{i}}{\frac {d^{n_{i}-j}}{ds^{n_{i}-j}}}((s-a_{i})^{n_{i}}F(s))}

で与えられる。各部分分数の原像は

L − 1 [ A ( s − a ) n ] = A ( n − 1 ) ! t n − 1 exp ⁡ ( a t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {A}{(s-a)^{n}}}\right]={\frac {A}{(n-1)!}}t^{n-1}\exp(at)}

で与えられるので、F(s) の原像が求まる。

以上より、有理関数のラプラス逆変換は理論的には求まるが、計算しやすい公式の形で与えられたものを「展開定理」と称することが多い。その式の形は文献によって多少の差異があるが、本質的には同じものである。

Q(s) が虚根を持つ場合、一旦は虚数が現れるが、オイラーの公式を用いて三角関数に変形すれば、実関数の範囲で原像が求まる。計算上は、複素数の範囲で一次式に分解するのではなく、実数の範囲で高々二次式にまで分解しておき、

L − 1 [ ω ( s − a ) 2 + ω 2 ] = exp ⁡ ( a t ) sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\sin(\omega t)}
L − 1 [ s − a ( s − a ) 2 + ω 2 ] = exp ⁡ ( a t ) cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\cos(\omega t)}

などを用いる方が実践的である場合もある。

分母が単根のみを持つ場合

分母が単根のみを持つ有理関数

F ( s ) = P ( s ) Q ( s ) = P ( s ) ( s − a 1 ) ⋯ ( s − a r ) {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {P(s)}{(s-a_{1})\cdots (s-a_{r})}}}

の原像は

L − 1 [ F ( s ) ] = ∑ i = 1 r P ( a i ) Q ′ ( a i ) exp ⁡ ( a i t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\sum _{i=1}^{r}{\frac {P(a_{i})}{Q'(a_{i})}}\exp(a_{i}t)}

で与えられる。Q′(ai) は、より具体的には

Q ′ ( a i ) = ∏ j ≠ i ( a i − a j ) {\displaystyle Q'(a_{i})=\prod _{j\neq i}(a_{i}-a_{j})}

として計算できる。

分母が重根を持つ場合

分母がn重根 a を持つ有理関数

F ( s ) = P ( s ) Q ( s ) = ϕ ( s ) ( s − a ) n = ∑ j = 1 n A j ( s − a ) j + R ( s ) {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {\phi (s)}{(s-a)^{n}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {A_{j}}{(s-a)^{j}}}+R(s)}

に対しては、

A j = 1 ( n − j ) ! lim s → a d n − j d s n − j ( ( s − a ) n F ( s ) ) {\displaystyle A_{j}={\frac {1}{(n-j)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-j}}{ds^{n-j}}}((s-a)^{n}F(s))}

であるから、

L − 1 [ F ( s ) ] = exp ⁡ ( a t ) ∑ j = 1 n ϕ ( n − j ) ( a ) ( n − j ) ! ( j − 1 ) ! t j − 1 + L − 1 [ R ( s ) ] {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\exp(at)\sum _{j=1}^{n}{\frac {\phi ^{(n-j)}(a)}{(n-j)!(j-1)!}}t^{j-1}+{\mathcal {L}}^{-1}[R(s)]}

が成り立つ。右辺第1項は

1 ( n − 1 ) ! lim s → a d n − 1 d s n − 1 ( ϕ ( s ) exp ⁡ ( s t ) ) {\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}(\phi (s)\exp(st))}

と同じものである。

脚注

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  1. ^ (一松 ほか 1979, p. 1066)
  2. ^ (一松 ほか 1979, p. 548)

参考文献

外部リンク